СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 530914

Саша придумала уравнение n3 + 13n = k3 + 273.

а) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при k = 21?

б) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при n ≥ 2020?

в) Найдите все пары (n; k) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению.

Решение.

а) Поскольку при можно взять

б) Перепишем уравнение в виде Очевидно, что при левая часть больше и

Поэтому что невозможно при натуральных n и k.

в) В силу предыдущего пункта достаточно перебрать При имеем

поэтому k получится отрицательным. Далее,

не является кубом;

не является кубом;

нужно взять

не является кубом.

При с одной стороны, верно неравенство и в то же время верно неравенство поскольку Тем самым что невозможно при натуральных n.

 

Ответ: а) да; б) нет; в)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 296.