ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 530914 Добавить в вариант

Саша придумала уравнение n³ + 13n  =  k³ + 273.

а)  Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при k  =  21?

б)  Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при n ≥ 2020?

в)  Найдите все пары (n; k) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению.

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку $273 = 13 умножить на 21,$ при $k=21$ можно взять $n=21.$

б)  Перепишем уравнение в виде $n в кубе плюс 13n минус 273=k в кубе .$ Очевидно, что при $n больше 21$ левая часть больше $n в кубе ,$ и

$левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в кубе =n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 3n плюс 1 больше или равно n в кубе плюс 3n в квадрате больше или равно n в кубе плюс 63n больше n в кубе плюс 13n минус 273.$

Поэтому $n в кубе меньше k в кубе меньше левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в кубе ,$ что невозможно при натуральных n и k.

в)  В силу предыдущего пункта достаточно перебрать $n=1,2, \ldots, 21.$ При $n меньше или равно 5$ имеем

$n в кубе плюс 13n меньше или равно 125 плюс 65 меньше 273,$

поэтому k получится отрицательным. Далее,

$n=6:$ $n в кубе плюс 13n минус 273= 21$ не является кубом;

$n=7:$ $n в кубе плюс 13n минус 273=161$ не является кубом;

$n=8:$ $n в кубе плюс 13n минус 273=343$ нужно взять $k=7;$

$n=9:$ $n в кубе плюс 13n минус 273=573$ не является кубом.

При $10 меньше или равно n меньше 21,$ с одной стороны, верно неравенство $n в кубе плюс 13n минус 273 меньше n в кубе ,$ и в то же время верно неравенство $n в кубе плюс 13n минус 273 больше n в кубе минус 3n в квадрате плюс 3n минус 1= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в кубе ,$ поскольку $3n в квадрате плюс 10n больше 272.$ Тем самым $левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в кубе меньше n в кубе плюс 13n минус 273 меньше n в кубе ,$ что невозможно при натуральных n.

Ответ: а) да; б) нет; в) $n=8,$ $k=7,$ $n=21,$ $k=21.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 296

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь