Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д18 C7 № 527269
i

Из 26 по­сле­до­ва­тель­ных не­чет­ных чисел 1, 3, 5, ... , 51 вы­бра­ли 11 раз­лич­ных чисел, ко­то­рые за­пи­са­ли в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. Пусть А  — ше­стое по ве­ли­чи­не среди этих чисел, а В  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское вы­бран­ных один­на­дца­ти чисел.

а)  Может ли В − А рав­нять­ся дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: конец дроби 11?

б)  Может ли В − А рав­нять­ся дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: конец дроби 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние В − А.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Если A минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби , то S минус 3=11A, где S  — сумма чисел в мно­же­стве. По­сколь­ку это сумма один­на­дца­ти не­чет­ных чисел, то S не­чет­но, по­это­му S минус 3 четно, а 11A  — не­чет­но. Про­ти­во­ре­чие.

б)  Здесь имеем ана­ло­гич­но 11A=S минус 4. Это воз­мож­но, на­при­мер, для чисел 1, 3, 5, ..., 19, 25. Тогда A=11 и S=125.

в)  Если по­след­ние числа  — еще не мак­си­маль­но воз­мож­ные  — уве­ли­чим их до мак­си­маль­но воз­мож­ных(от этого B уве­ли­чит­ся). Если какие-то из наи­мень­ших чисел не мак­си­маль­но воз­мож­ные (то есть A минус 2, A минус 4,\ldots  — по­сту­пим ана­ло­гич­но. Итак, самый хо­ро­ший при­мер обя­за­тель­но вы­гля­дит так: A минус 10, A минус 8, A минус 6, A минус 4, A минус 2, A, 43, 45, 47, 49, 51. Оста­лось вы­брать наи­луч­шее A. Имеем:

B минус A= дробь: чис­ли­тель: A минус 10 плюс A минус 8 плюс A минус 6A минус 4 плюс A минус 2 плюс A плюс 43 плюс 45 плюс 47 плюс 49 плюс 51, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби минус A= дробь: чис­ли­тель: 205 минус 5A, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби ,

по­это­му вы­год­но брать A по­мень­ше. Зна­чит, A=11, мень­шее число не может быть ше­стым по ве­ли­чи­не. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние будет дробь: чис­ли­тель: 150, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

 

Ответ: а) нет; б) да; в) дробь: чис­ли­тель: 150, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 249
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025