Учащиеся 11 классов сдавали тесты по различным предметам. Каждый тест оценивается от 0 до 100 баллов. После получения результатов пятеро друзей решили сравнить полученные баллы. Каждый сдавал русский язык и профильную математику, четверо сдавали физику, трое сдавали информатику, двое сдавали обществознание. Общая сумма баллов по физике не больше 300, а по информатике — не меньше 220. Сумма баллов по обществознанию оказалась равна сумме двух лучших результатов по физике и информатике.
а) Мог ли один из друзей не сдать хотя бы один экзамен?
б) Могли ли двое не сдать какой‐то экзамен, если два участника написали обществознание на 78 и 87 баллов?
в) Какое наибольшее количество участников могли не сдать хотя бы один экзамен, если лучшая работа по физике оценена не более чем в 80 баллов, по информатике — не более 75 баллов, по обществознанию — не менее 90 баллов?
Указание. Тест считается несданным, если за него получено 0 баллов.
а) Да. Например, результаты физики: 0, 100, 100, 100; информатики: 20, 100, 100; обществознания 100, 100.
б) Да. Например, ровно два человека не сдали физику, результаты физики: 0, 0, 7, 8; информатики: 70, 70, 80. Тогда результаты обществознания 
и 
и все условия выполнены.
Другой пример: трое человек не сдали физику, результаты физики: 0, 0, 0, 65; информатики: 20, 100, 100. Тогда
и все условия выполнены.
в) Поскольку сумма баллов по обществознанию больше наибольшего возможного балла по информатике, кто-то сдал обществознание и кто-то (возможно, он же) сдал физику. Следовательно, наибольшее возможное количество несданных экзаменов — 4: три по физике и один по обществознанию. Все условия выполнены, например, для таких результатов:
| Участник 1 | Участник 2 | Участник 3 | Участник 4 | Участник 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Физика | 0 | 0 | 0 | 15 | |
| Информатика | 70 | 75 | 75 | ||
| Обществознание | 0 | 90 |
Ответ: а) да, б) да, в) 4.
Примечание.
Упоминание в условии русского языка и математики несущественно.