Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д18 C7 № 507649
i

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус n!=7 левая круг­лая скоб­ка 420k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

При­ме­ча­ние.

Для на­ту­раль­но­го n сим­во­лом n! обо­зна­ча­ет­ся про­из­ве­де­ние 1 умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на ... умно­жить на n.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ясно, что 7 левая круг­лая скоб­ка 420k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка долж­но де­лить­ся на n. Слу­чай n=1 не под­хо­дит, а про­стых де­ли­те­лей, мень­ших, чем 7, число 7 левая круг­лая скоб­ка 420k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка не имеет. Сле­до­ва­тель­но, n\geqslant7. Тогда n! де­лит­ся на 7 и по­это­му в ра­вен­стве n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус n!=7 левая круг­лая скоб­ка 420k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая часть де­лит­ся на 7, по­это­му левая часть тоже де­лит­ся на 7. Зна­чит, n де­лит­ся на 7. Пред­по­ло­жим, что n=7m, где m боль­ше 1. Тогда после де­ле­ния на 7 дан­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

7 в сте­пе­ни k m в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6! умно­жить на 8 умно­жить на 9 умно­жить на ... умно­жить на 7m=420k плюс 1.

Левая часть де­лит­ся на 7, пра­вая не де­лит­ся, про­ти­во­ре­чие. Оста­лось рас­смот­реть слу­чай n=7. Урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7!=7 левая круг­лая скоб­ка 420k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =60k плюс 103. Ясно, что k=1,k=2 и k=3 не удо­вле­тво­ря­ют по­лу­чен­но­му ра­вен­ству, а при k=4 обе части равны 343. Остаётся до­ка­зать что бо́льших под­хо­дя­щих зна­че­ний k нет. Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность a_k=7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 60k минус 103 и раз­ность a_k плюс 1 минус a_k:

a_k плюс 1 минус a_k=7 в сте­пе­ни k минус 60 левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 103 минус 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 60k плюс 103=7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 6 минус 60.

При k боль­ше или равно 3 эта раз­ность по­ло­жи­тель­на, сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет. Зна­чит, если k боль­ше 4, то a_k боль­ше a_4=0, а по­это­му 7 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 60k плюс 103.

 

Ответ: n=7,k=4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ва­но по­лу­чен вер­ный ответ.4
Обос­но­ва­но най­де­но вер­ное зна­че­ние n, под­бо­ром най­де­но k, од­на­ко до­ка­за­тель­ство от­сут­ствия бо́льших зна­че­ний k от­сут­ству­ет или со­дер­жит ошиб­ку.3
Обос­но­ва­но най­де­но вер­ное зна­че­ние n, од­на­ко зна­че­ние k не най­де­но, най­де­но не­вер­но или ответ со­дер­жит лишь зна­че­ния k.2
Име­ет­ся вер­ный ответ, най­ден­ный под­бо­ром или с по­мо­щью не­пол­ных рас­суж­де­ний. Обос­но­ва­ние един­ствн­но­сти n от­сут­ству­ет, пи­ри­ве­де­но не­пол­но­стью или со­дер­жит ошиб­ку.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 507637: 507649 511455 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026