Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 532058

Известно, что n и m — натуральные числа.

а) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: m конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби ?

б) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: n в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: m в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби ?

в) Найдите все пары чисел n и m, для которых выполняется равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: n в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: m в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби .

б) Да, например,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби .

в) Ясно, что  дробь: числитель: 1, знаменатель: n в кубе конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби , откуда n в кубе меньше 72, а значит, число n может быть равно только 1, 2, 3 и 4. Проверим эти числа:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби = дробь: числитель: 71, знаменатель: 72 конец дроби не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: m в квадрате конец дроби ,

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 в квадрате конец дроби ,

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 216 конец дроби } не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: m в квадрате конец дроби ,

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 576 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 в квадрате конец дроби .

Ответ: а) да, б) да, в) n=2, m=3 или n=4,m=24.

 

Примечание.

Пример в пункте а) не единственный. Чтобы найти все возможные варианты, выразим n из исходного равенства  дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: m конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби и выделим в полученной дроби целую часть:

n = дробь: числитель: 72m, знаменатель: m плюс 72 конец дроби = 72 минус дробь: числитель: 72 в квадрате , знаменатель: m плюс 72 конец дроби .

Полученное уравнение имеет решения в натуральных числах, только если дробь, стоящая в левой части выражения, сократима. Следовательно, 722 должно делиться на m плюс 72. Например, подходит значение m=72, тогда  дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби .

Пример в пункте б) единственный. Чтобы доказать это, воспользуемся идеей, примененной в пункте в). Заметим, что  дробь: числитель: 1, знаменатель: n в квадрате конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 72 конец дроби , откуда n в квадрате меньше 72. Следовательно, n = 1, 2, \dots, 8. Найденные значения можно перебрать.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301.