СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 532058

Известно, что n и m — натуральные числа.

а) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство ?

б) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство ?

в) Найдите все пары чисел n и m, для которых выполняется равенство .

Решение.

а) Да, например,

б) Да, например,

в) Ясно, что откуда а значит, число n может быть равно только 1, 2, 3 и 4. Проверим эти числа:

Ответ: а) да, б) да, в) или

 

Примечание.

Пример в пункте а) не единственный. Чтобы найти все возможные варианты, выразим n из исходного равенства и выделим в полученной дроби целую часть:

Полученное уравнение имеет решения в натуральных числах, только если дробь, стоящая в левой части выражения, сократима. Следовательно, 722 должно делиться на Например, подходит значение тогда

Пример в пункте б) единственный. Чтобы доказать это, воспользуемся идеей, примененной в пункте в). Заметим, что откуда Следовательно, Найденные значения можно перебрать.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301.