Сева каждый день заполняет таблицу 3 на 3 клетки числами 0, 2 или 4. При этом он рассчитывает день ото дня решать все более и более амбициозные задачи:
− Пн: добиться того, чтобы суммы чисел по строкам были различны;
− Вт: суммы чисел по строкам и хотя бы в одном из столбцов были различны;
− Ср: суммы чисел по строкам и хотя бы в двух столбцах были различны;
− Чт: суммы чисел по строкам и столбцам были различны;
− Пт: суммы чисел по строкам, столбцам и одной из главных диагоналей были различны;
− Сб: суммы чисел по строкам, столбцам и обеим главным диагоналям были различны.
а) Сможет ли Сева выполнить свой план на вторник, если хорошо постарается?
б) Сможет ли Сева выполнить свой план на субботу, если постарается пуще прежнего?
в) В какие дни Сева точно не сможет выполнить свой план?
а) Расстановка
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 2 | 4 |
| 2 | 2 | 4 |
дает суммы 0, 6, 8 в строках и 2, 4, 8 в столбцах, то есть позволяет выполнить план на понедельник, вторник и среду.
б) Все возможные суммы — четные числа от 0 до 12. Но их всего 7, поэтому получить 8 разных сумм не получится.
в) Докажем, что цель на четверг недостижима. Из сумм 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12 должны быть получены все, кроме одной. При этом их общая сумма равна удвоенной сумме всех чисел в таблице, поэтому она кратна 4. Значит, из суммы 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42 нужно удалить слагаемое 2, 6 или 10. Следовательно, слагаемые 0 и 12 должны остаться, а тогда в таблице есть ряд из одних нулей и ряд из одних четверок. Очевидно, они параллельны. Пусть, для определенности, они будут записаны в строках. Тогда в третьей строке все числа должны быть различны (иначе совпадут суммы в двух столбцах). Значит, эта таблица с точностью до перестановки строк и столбцов выглядит так, как показано ниже.
| 0 | 0 | 0 |
| 4 | 4 | 4 |
| 0 | 2 | 4 |
Но в этой таблице дважды повторится сумма 6. Поэтому план на четверг, а с ним на пятницу и на субботу невыполнимы. Планы на предыдущие три дня выполнимы, пример приведен в пункте а).
Ответ: а) да; б) нет; в) за четверг, пятницу, субботу.