Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 547549

Натуральное число А таково, что если его первую цифру переставить на последнее место, получится число, в n > 1 раз меньше числа А.

а) Существует ли двухзначное число А, удовлетворяющее указанным условиям?

б) Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее указанным условиям, если n = 5, а число А начинается с цифры 7.

в)  Приведите пример числа, которое при перестановке его первой цифры на последнее место увеличивается в 3 раза.

Спрятать решение

Решение.

Видимо, подразумевается, что число n — натуральное, иначе подойдет любое двузначное число, у которого вторая цифра меньше первой. Кроме того, наверное, после перестановки цифры число должно остаться двузначным, иначе подходят числа 10, 20, 30, ..., 90.

а) Допустим, цифры полученного числа равны b и a. Ясно, что a больше b (иначе число вообще не уменьшится). Тогда 10a плюс b=n левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка , то есть 9 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка . Возможны следующие случаи.

1. Число n минус 1 кратно 9, тогда n больше или равно 10, что невозможно. Число не может уменьшаться в 10 и более раз от перестановки цифр, ведь число цифр остается постоянным.

2. Число 10b плюс a кратно 9. Тогда и 10a плюс b, отличающееся только порядком цифр, кратно 9. Перебирая числа 81, 72, 63, 54, убеждаемся, что они не подходят.

3. Числа 10b плюс a и n минус 1 кратны 3. Тогда n больше или равно 4 и потому 10b плюс a меньше или равно 25 (иначе n левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка больше или равно 100). Значит, b=1 или b=2. Перебирая кратные 3 числа с такой последней цифрой (21, 51, 81, 12, 42, 72), убеждаемся, что они не подходят.

б) Пусть в числе A ровно x плюс 1 цифра, первая из которых семерка. Обозначим B=A минус 7 умножить на 10 в степени x  — число, образованное прочими его цифрами. По условию B плюс 7 умножить на 10 в степени x =5 левая круглая скобка 10B плюс 7 правая круглая скобка , откуда 49B=7 левая круглая скобка 10 в степени x минус 5 правая круглая скобка и 7B=10 в степени x минус 5. Значит, 10 в степени x минус 5 кратно 7. Перебором убеждаемся, что наименьшее такое x это 5, при этом B=99995:7=14285 и требуемое число равно 714285=5 умножить на 142857.

в) Аналогично предыдущему пункту получаем уравнение B плюс 7 умножить на 10 в степени x =3 левая круглая скобка 10B плюс 7 правая круглая скобка , откуда 29B=7 левая круглая скобка 10 в степени x минус 3 правая круглая скобка , поэтому 10 в степени x минус 3 кратно 29. Можно убедиться, что x=27 подходит, поэтому

B=7 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 27 правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка :29=241379310344827586206896551

и

A=7241379310344827586206896551=3 умножить на 2413793103448275862068965517

подойдет.

Есть и другие способы нахождения такого числа. Например, пусть A = a умножить на 10 в степени k плюс B, Тогда 10B плюс a = 3 левая круглая скобка a умножить на 10 в степени k плюс B правая круглая скобка , откуда 7B = a левая круглая скобка 3 умножить на 10 в степени k минус 1 правая круглая скобка . Левая часть полученного равенства делится на 7, поэтому должна делиться и правая. При a = 7 равенство невозможно, поскольку B это k-значное число, а число  левая круглая скобка 3 умножить на 10 в степени k минус 1 правая круглая скобка является (k + 1)-значным. Следовательно, оно и кратно семи. Проверяя k = 1, 2, ..., находим, что при k = 5 равенство принимает вид 7B = a умножить на 299999, откуда B = 42857a. Полагая a = 1, получаем один из примеров: A = 142857 (заметим, кстати, что это знаменитое круговое число).

 

Ответ: a) нет (при сделанных вначале оговорках), б) 714 285, в) 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551 или 142 857.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 317. (Часть C)