Ви­ди­мо, под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, что число n  — на­ту­раль­ное, иначе по­дой­дет любое дву­знач­ное число, у ко­то­ро­го вто­рая цифра мень­ше пер­вой. Кроме того, на­вер­ное, после пе­ре­ста­нов­ки цифры число долж­но остать­ся дву­знач­ным, иначе под­хо­дят числа 10, 20, 30, ..., 90.

а)  До­пу­стим, цифры по­лу­чен­но­го числа равны b и a. Ясно, что (иначе число во­об­ще не умень­шит­ся). Тогда то есть Воз­мож­ны сле­ду­ю­щие слу­чаи.

1.  Число крат­но 9, тогда что не­воз­мож­но. Число не может умень­шать­ся в 10 и более раз от пе­ре­ста­нов­ки цифр, ведь число цифр оста­ет­ся по­сто­ян­ным.

2.  Число крат­но 9. Тогда и от­ли­ча­ю­ще­е­ся толь­ко по­ряд­ком цифр, крат­но 9. Пе­ре­би­рая числа 81, 72, 63, 54, убеж­да­ем­ся, что они не под­хо­дят.

3.  Числа и крат­ны 3. Тогда и по­то­му (иначе ). Зна­чит, или Пе­ре­би­рая крат­ные 3 числа с такой по­след­ней циф­рой (21, 51, 81, 12, 42, 72), убеж­да­ем­ся, что они не под­хо­дят.

б)  Пусть в числе A ровно цифра, пер­вая из ко­то­рых се­мер­ка. Обо­зна­чим   — число, об­ра­зо­ван­ное про­чи­ми его циф­ра­ми. По усло­вию от­ку­да и Зна­чит, крат­но 7. Пе­ре­бо­ром убеж­да­ем­ся, что наи­мень­шее такое x это 5, при этом и тре­бу­е­мое число равно

в)  Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му пунк­ту по­лу­ча­ем урав­не­ние от­ку­да по­это­му крат­но 29. Можно убе­дить­ся, что под­хо­дит, по­это­му

и

по­дой­дет.

Есть и дру­гие спо­со­бы на­хож­де­ния та­ко­го числа. На­при­мер, пусть Тогда от­ку­да Левая часть по­лу­чен­но­го ра­вен­ства де­лит­ся на 7, по­это­му долж­на де­лить­ся и пра­вая. При ра­вен­ство не­воз­мож­но, по­сколь­ку B это k-знач­ное число, а число яв­ля­ет­ся (k + 1)-знач­ным. Сле­до­ва­тель­но, оно и крат­но семи. Про­ве­ряя на­хо­дим, что при ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид от­ку­да По­ла­гая по­лу­ча­ем один из при­ме­ров: (за­ме­тим, кста­ти, что это зна­ме­ни­тое кру­го­вое число).

Ответ: a) нет (при сде­лан­ных вна­ча­ле ого­вор­ках), б) 714 285, в) 7 241 379 310 344 827 586 206 896 551 или 142 857.