ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 527315 Добавить в вариант

Пусть S(n)  — сумма цифр натурального числа n.

а)  Существует ли такое двузначное число n, для которого выполняется условие $S левая круглая скобка n правая круглая скобка =S левая круглая скобка 2n правая круглая скобка ?$

б)  Существует ли такое двузначное число n, все цифры которого четны, для которого выполняется условие $S левая круглая скобка n правая круглая скобка =S левая круглая скобка 2n правая круглая скобка ?$

в)  Найдите количество трехзначных чисел n, все цифры которых нечетны, для которых выполняется условие $S левая круглая скобка n правая круглая скобка =S левая круглая скобка 2n правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например, 99.

б)  Пусть цифры числа равны a и b, тогда число равно $10a плюс b,$ а удвоенное число равно $20a плюс 2b.$ Значит, его сумма цифр равна числу $2a плюс 2b,$ возможно, уменьшенному на 9 или 18 (если при умножении числа на 2 произошли один или два переноса). Рассмотрим все варианты:

$2a плюс 2b=a плюс b$ дает $a=b=0,$ что невозможно;

$2a плюс 2b минус 9=a плюс b$ дает $a плюс b=9,$ что невозможно для четных цифр;

$2a плюс 2b минус 18=a плюс b$ дает $a плюс b=18,$ откуда $a=b=9,$ что невозможно для четных цифр.

Следовательно, это невозможно.

в)  Как и в предыдущем пункте, обозначим цифры числа буквами a, b, c. Возможны следующие варианты.

Первый: $2a плюс 2b плюс 2c=a плюс b плюс c$ откуда $a=b=c=0,$ что невозможно.

Второй: $2a плюс 2b плюс 2c минус 9=a плюс b плюс c,$ откуда $a плюс b плюс c=9$ и ровно одна из цифр не меньше 5 (чтобы был перенос). Это дает варианты $1 плюс 3 плюс 5$ или $1 плюс 1 плюс 7.$ Первые три цифры при расстановке их в разном порядке дают 6 чисел, вторые три  — еще три числа.

Третий: $2a плюс 2b плюс 2c минус 18=a плюс b плюс c,$ откуда $a плюс b плюс c=18,$ что невозможно для трех нечетных цифр;

Четвертый: $2a плюс 2b плюс 2c минус 27=a плюс b плюс c,$ откуда $a плюс b плюс c=27,$ $a=b=c=9,$ число 999 подходит.

Итого есть 10 подходящих чисел.

Ответ: a) да; б) нет; в) 10.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 251

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь