СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 532287

а) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей и получаются натуральные числа.

б) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей и получаются натуральные числа.

в) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей и получаются натуральные числа.

Решение.

Пусть искомая дробь в несократимом имеет вид используемый далее параметр t — натуральное число.

а) Нужно, чтобы числа и были натуральными. Значит, a кратно 14 и 21, поэтому кратно и 42. Пусть тогда дроби примут вид и Следовательно, и кратны b, поэтому и кратно b, откуда и Эта дробь подходит.

б) Аналогично целыми должны быть числа и Тогдаa кратно 35, 28 и 25, и потому кратно 700. Пусть тогда дроби примут вид Следовательно, числа 1320t, 4125t и 6468t кратны b, причем t взаимно просто с b как делитель a. Значит, числа 1320, 4125, 6468 кратны b. Поэтому b — делитель их наибольшего общего делителя, равного 33. Тогда Эта дробь подходит.

в) Аналогично: дроби выражают натуральные числа, поэтому a кратно 154, 231 и 385, откуда Числа 2925t, 936t и 1300t кратны b, откуда и Эта дробь подходит.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 302. (Часть C)