а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  5, AA₁  =  5, AD  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁B и B₁D пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁B и B₁D.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Около окруж­но­сти ра­ди­у­са 1 опи­са­ны ромб и тре­уголь­ник, две сто­ро­ны ко­то­ро­го па­рал­лель­ны диа­го­на­лям ромба, а тре­тья па­рал­лель­на одной из сто­рон ромба и равна 5.

а)  Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

б)  Най­ди­те часть пло­ща­ди ромба, на­хо­дя­щу­ю­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка.

Ан­дрей Пет­ро­вич взял кре­дит на не­сколь­ко лет и вы­пла­тил его рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми по 200 000 руб. При этом в на­ча­ле каж­до­го года сумма кре­ди­та уве­ли­чи­ва­лась на 10%, а в конце года про­из­во­дил­ся платёж. Если бы Ан­дрей Пет­ро­вич не делал пла­те­жей, то за это время вслед­ствие на­чис­ле­ния про­цен­тов сумма кре­ди­та со­ста­ви­ла бы 928 200 руб. На сколь­ко лет был взят кре­дит?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

а)  Су­ще­ству­ет ли пара на­ту­раль­ных чисел, наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 5, а наи­мень­шее общее крат­ное  — 123?

б)  Су­ще­ству­ет ли пара на­ту­раль­ных чисел, наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 7, а наи­мень­шее общее крат­ное  — 294?

в)  Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел, наи­боль­ший общий де­ли­тель ко­то­рых равен 13, а наи­мень­шее общее крат­ное  — 78.