Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 545526

В рамках проекта ежегодной аттестации учителей начальных классов, в котором приняли участие два города А и В, 51 учитель написал тест. Известно, что из каждого города тест написали хотя бы два учителя, причем каждый набрал целое положительное количество баллов, а после предварительных подсчетов средний балл в каждом городе оказался целым числом. Затем один из учителей, писавших тест, переехал из города А в город В, и средние баллы по городам пришлось пересчитать.

а)  Мог ли средний балл в городе А после пересчета вырасти в два раза?

б)   Известно, что после пересчета средние баллы в городах выросли на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в городе В равняться 1?

в)   Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в городе В, если известно, что после пересчета средние баллы в городах выросли на 10%.

Спрятать решение

Решение.

Пусть в городе А писали тестирование а человек, тогда в городе B писали тестирование (51 − a) человек, и пусть переехавший учитель получил на тестировании t баллов. Пусть также всего учителя и города А набрали Sa баллов, а из города В  — Sb баллов.

а)  Если средний балл в городе А после пересчета вырос в два раза, то:

 дробь: числитель: S_a минус t, знаменатель: a минус 1 конец дроби =2 умножить на дробь: числитель: S_a, знаменатель: a конец дроби равносильно дробь: числитель: a, знаменатель: a минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 2S_a, знаменатель: S_a минус t конец дроби .

Заметим, что

 дробь: числитель: a, знаменатель: a минус 1 конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a минус 1 конец дроби меньше или равно 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус 1 конец дроби =2,

 дробь: числитель: 2S_a, знаменатель: S_a минус t конец дроби =2 плюс дробь: числитель: 2t, знаменатель: S_a минус t конец дроби больше 2.

Следовательно, равенство невозможно.

б)  Пусть  дробь: числитель: S_b, знаменатель: 51 минус a конец дроби =1, тогда из условия получаем:

 дробь: числитель: S_a минус t, знаменатель: a минус 1 конец дроби =1,1 умножить на дробь: числитель: S_a, знаменатель: a конец дроби , левая круглая скобка 1 правая круглая скобка

 дробь: числитель: S_b плюс t, знаменатель: 52 минус a конец дроби =1,1= дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби . левая круглая скобка 2 правая круглая скобка

Из второго равенства следует, что 52 − a кратно 10. Запишем первое в виде  дробь: числитель: S_a минус t, знаменатель: S_a конец дроби = дробь: числитель: 11 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 10a конец дроби , откуда 11 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка меньше 10a равносильно a меньше 11. Таким образом, a = 2. Значит, Sb = 49, следовательно, t = 6. Имеем:

 дробь: числитель: S_a минус 6, знаменатель: S_a конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 20 конец дроби равносильно 9S_a=120.

Полученное равенство невозможно для целых Sa, поэтому ответ нет.

в)  Пусть  дробь: числитель: S_b, знаменатель: 51 минус a конец дроби =n принадлежит N . Аналогично пункту б) получаем, что 52 − a кратно 10 и a < 11. Тогда верна система уравнений

 система выражений дробь: числитель: S_a минус t, знаменатель: a минус 1 конец дроби =1,1 умножить на дробь: числитель: S_a, знаменатель: a конец дроби , дробь: числитель: S_b плюс t, знаменатель: 52 минус a конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 10 конец дроби умножить на n конец системы . равносильно система выражений S_a минус t = дробь: числитель: 11, знаменатель: 20 конец дроби умножить на S_a, S_b плюс t= 55 умножить на n конец системы . равносильно система выражений t=6n,9S_a=120n конец системы . равносильно n= дробь: числитель: 3S_a, знаменатель: 40 конец дроби .

Таким образом, n кратно 3. Возьмем наименьшее такое n: пусть n = 3. Тогда Sb = 147; Sa = 40, t = 18, a = 2.

Покажем, что такой случай возможен. Например, если в городе А писали тест 2 учителя, набрали: 18 и 22 балла. Средний балл до переезда 20 баллов. Если переехал учитель, набравший 18 баллов, то новый средний балл равен 22  — вырос на 10%. Тогда в городе B писали тест 49 учителей. Если все они написали тест на 3, 3..., 3 балла, средний балл до переезда равен 3, а после переезда  левая круглая скобка \underbrace3 плюс 3 плюс умножить на s плюс 3_49 троек плюс 18 правая круглая скобка : 50 = 3,3  — тоже вырос на 10%.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 313. (Часть C)