Набор состоит из сорока пяти целых положительных чисел, среди которых есть числа 6, 7, 8. Среднее арифметическое любых тридцати пяти чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 26 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 26 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 50.
Условие о среднем арифметическом означает, что сумма любых 35 чисел набора не превосходит 69.
а) Да. Возьмем числа 6, 7, 8, 26 единиц и 16 двоек. Тогда самая большая сумма 35 чисел будет 
б) Нет. Возьмем числа 6, 7, 8 и самые большие из оставшихся — поскольку единиц не более 25, в них попадут не менее 
чисел, каждое из которых не меньше 2. Значит, общая сумма таких 35 чисел будет не меньше, чем 
Противоречие.
в) Рассмотрим набор, состоящий из чисел 6, 7, 8, 26-и единиц и еще любых шести чисел. Сумма в этом наборе не меньше 
и не больше 69. Пусть она равна 
где 
Удаляя из набора x единиц, получим требуемое.
Ответ: а) да, б) нет.