Натуральное число, являющееся полным квадратом, обладает следующим свойством: если все его цифры уменьшить на одно и то же натуральное число, то получится число, также являющееся полным квадратом.
а) Приведите пример двухзначного числа, обладающего указанным свойством.
б) Найдите все двухзначные числа, обладающие указанным свойством.
в) Найдите все четырехзначные числа, обладающие указанным свойством.
а) Подходит, например, 49, которое можно превратить в 16.
б) Переберем все двузначные квадраты: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Очевидно, что при описанных действиях сохраняются разности между цифрами. Вычислим их: 
Отсюда ясно, что 36 можно превратить в 25, а 49 в 16, и других вариантов нет.
в) Пусть у числа 
уменьшают каждую цифру на a и получают 
Тогда имеем:
Значит, один из множителей левой части кратен 101. Поскольку x и y двузначные числа (их квадраты четырехзначны), то единственная возможность — случай, когда 
Отсюда следует, что x и y — числа разной четности и разность 
— нечетное число. Поэтому a — тоже нечетно. Разберем варианты:
откуда 
и 
условие выполнено.
откуда 
и 
условие выполнено.
откуда 
и 
условие не выполнено.
При увеличении a будет уменьшаться 
поэтому прочие варианты невозможны.
Ответ: а) 49; б) 36,49; в) 3136 и 4489.