ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 527208 Добавить в вариант

а)  Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных делителей (включая единицу и само число n)?

б)  Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в)  Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных натуральных делителей?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например 72 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

б)  Если число разложено на простые множители $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка ,$ то его число делителей равно $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка .$ Если это 14, то либо тут всего один множитель 14, либо два множителя 2 и 7. Поэтому исходное число имеет вид либо $p в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ,$ либо $pq в степени 6 .$ Исходное число $p в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка$ не может делиться на 14, а $pq в степени 6$ может только если p и q это 2 и 7. Итак, годятся $2 умножить на 7 в степени 6$ и $7 умножить на 2 в степени 6 .$

в)  Поскольку $2014=2 умножить на 19 умножить на 53,$ подойдет, например, число $2 умножить на 19 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка умножить на 53 в степени левая круглая скобка 52 правая круглая скобка .$

Ответ: а) Да; б) $2 умножить на 7 в степени 6$ и $7 умножить на 2 в степени 6 ;$ в) Да.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 243

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь