ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 527713 Добавить в вариант

Известно, что уравнение x³ − 3x² + bx + 12  =  0 имеет три различных целых корня.

а)  Могут ли все корни этого уравнения быть четными?

б)  Найдите количество отрицательных корней.

в)  Найдите все возможные значения коэффициента b.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x_1, x_2 и x_3$   — три различных целых корня уравнения $x в кубе минус 3x в квадрате плюс bx плюс 12 = 0 .$ Тогда

$x в кубе минус 3x в квадрате плюс bx плюс 12 = 0 равносильно левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_3 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно x в кубе минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_2x_3 плюс x_1x_3 правая круглая скобка x минус x_1x_2x_3=0$

Значит, $x_1 плюс x_2 плюс x_3=3,$ $x_1 x_2 плюс x_2 x_3 плюс x_1 x_3=b,$ а $x_1 x_2 x_3= минус 12.$

а)  Предположим, что все корни уравнения чётные, тогда $x_1=2k, x_2=2l и x_3=2m, где k,l,m принадлежит Z .$ Получаем, $2k умножить на 2l умножить на 2m= минус 12 равносильно klm= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ (произведение целых чисел равно нецелому), что невозможно. Значит, предположение неверно.

б)  Произведение трёх корней $x_1 умножить на x_2 умножить на x_3= минус 12,$ а их сумма $x_1 плюс x_2 плюс x_3=3.$ Произведение чисел отрицательно, если среди множителей нет нулей, и при этом имеется нечётное число отрицательных множителей. Значит, или все три корня уравнения отрицательны, или один корень отрицательный, а два  — положительных. Сумма трёх отрицательных чисел не может равняться 3. Значит, у данного уравнения ровно один отрицательный корень.

в)  Разложим число 12 на простые множители $12=2 умножить на 2 умножить на 3.$ Добавив к простым сомножителям 1, получаем $12=1 умножить на 2 умножить на 2 умножить на 3.$ Рассмотрим все возможные значения корней и их суммы, учтя результаты полученные в пункте б).

x₁	−1	−1	−2	−2	−3	−4	−6
x₂	2	3	1	2	1	1	1
x₃	6	4	6	3	4	3	2
x₁ + x₂ + x₃	11	6	5	3	2	0	−3

Получаем, что уравнение имеет три различных целых корня в единственном случае, и этими корнями являются числа −2, 2 и 3. Найдём b.

$b= минус 2 умножить на 2 плюс 2 умножить на 3 плюс левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на 3= минус 4$

Ответ: а) нет, б) один, в) −4.

Примечание.

Внимательный читатель, конечно, узнал теорему Виета для кубического уравнения.

Если $x_1, x_2, x_3$   — корни уравнения $ax в кубе плюс bx в квадрате плюс cx плюс d=0,$ то

$x_1 плюс x_2 плюс x_3= минус дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби ,$

$x_1 x_2 плюс x_2 x_3 плюс x_1 x_3= дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби ,$

$x_1 x_2 x_3= минус дробь: числитель: d, знаменатель: a конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 281

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь