При изучении темы «Среднее арифметическое» в классе из 34 учащихся раздали синие и красные карточки, при этом каждый из учеников получил хотя бы одну карточку, но не более одной каждого цвета. На каждой карточке написано одно целое число от 0 до 20 (на различных карточках могут быть записаны одинаковые числа). Среднее арифметическое по всем розданным карточкам оказалось равным 15 по каждому цвету в отдельности. Затем каждый ученик назвал наибольшее из чисел на своих карточках (если ему досталась одна карточка, то он назвал число, написанное на этой карточке). Среднее арифметическое всех названных чисел оказалось равно S.
а) Приведите пример, когда 
б) Могло ли S быть равным 9?
в) Найдите наименьшее значение S, если по две карточки получили 17 учеников.
а) Допустим, 20 школьников получили по две карточки с числом 20, по пять школьников получили красные или синие карточки с единицей и по два школьника — красные или синие карточки с нулем. Тогда среднее по каждому цвету составит
а общее среднее
б) Если бы оказалось так, то сумма всех названных чисел составила бы 34 · 9 = 306. Если бы карточек какого-то цвета было 21 или больше, то сумма на них была бы не меньше
21 · 15 = 315 > 305,
а обладатели этих карточек вместе назвали бы не меньше, чем сумму на этих карточках. Значит, карточек каждого цвета не более 20. Тогда есть не более 6 человек, имеющих карточки обоих цветов. Заметим, что карточек одного из цветов (например, красного) не менее 
а карточек другого цвета не менее 34 − 20 = 14. Тогда сумма на красных карточках не менее 17 · 15, сумма на синих не менее 14 · 15, а потому общая сумма не менее 31 · 15 = 465. Все числа общей суммы будут названы, кроме максимум 6 чисел, каждое из которых не более 20. Поэтому общая сумма названых чисел будет не менее
465 − 20 · 6 = 345 > 306.
в) Пусть а — сумма на карточках тех школьников, которые получили одну карточку, b — сумма наибольших чисел у тех школьников, которые получили по две карточки, с — сумма наименьших чисел у тех школьников, которые получили по две карточки. Заметим, что средние по каждому цвету в отдельности равны 15, поэтому общее среднее всех чисел также равно 15. Всего была выдана 51 карточка. Значит, общая сумма чисел на карточках равна
a + b + c = 51 · 15 = 765.
При этом a + b = 34S. Значит,
Это значение достигается если, например, 17 школьников получили по две разноцветные карточки с числами 20, 8 школьников получили только красные карточки с суммой чисел на них, равной 35 (например, 20, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0) и 9 школьников получили только синие карточки с суммой чисел на них равной 50 (например, 20, 20, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0).
Ответ: а) 20 школьников получили по две карточки с числом 20, по пять школьников получили красные или синие карточки с единицей и по два школьника — красные или синие карточки с нулем; б) нет; в) 12,5.