На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 2014 без пропусков и повторений: 1, 2, 3, …, 2013, 2014. С выписанными на доске числами проделывают следующие операции: выбирают какие‐либо два числа и записывают на доске модуль их разности, увеличенный на 1, а сами выбранные числа стирают. Так продолжают до тех пор, пока на доске не останется только одно число.
а) Какое наименьшее число может остаться на доске?
б) Какое наибольшее число может остаться на доске?
а) Заметим, что если были использованы два четных или два нечетных числа, то результат будет нечетным, а если были использованы числа разной четности, то результат будет четным. Поэтому количество четных чисел на доске либо не меняется, либо уменьшается на 2. Изначально их было 1007, поэтому уменьшиться до нуля их количество не может. Значит, последнее число будет четным. Значит, оно будет не менее 2.
Сделать 2 можно. Разобьем числа на пары соседних таким образом: (1, 2), (3, 4), (5, 6), ...,(2013, 2014) и сделаем в каждой паре операцию. Получим 1007 двоек. Затем будем делать операцию с двумя двойками (получится единица) и с единицей и двойкой (получится двойка). Таким образом, за две операции будут просто исчезать две двойки. Рано или поздно останется одна двойка.
б) Заметим, что получаемые числа всегда не меньше 1 и не больше максимального из использованных чисел. Поэтому получить больше чем 2014 точно не выйдет. Покажем, как получить его. Разобьем числа на пары таким образом — (2, 3), (4, 5), ..., (2012, 2013) и сделаем действие в каждой паре. Получим 1006 двоек. Затем разобьем их на пары и сделаем в каждой паре действие, получим 503 единицы. Кроме того, с самого начала есть еще 2014 и одна единица. Теперь будем делать действия с числами 2014 и 1 — при этом будет получаться снова 2014. Через некоторое время все единицы исчезнут и останется 2014.
Ответ: а) 2, б) 2014.