а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 4. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точки А и В лежат на окруж­но­сти с цен­тром О и ра­ди­у­сом 6, а точка С рав­но­уда­ле­на от точек А, В и О. Дру­гая окруж­ность с цен­тром Q и ра­ди­у­сом 8 опи­са­на около тре­уголь­ни­ка АСО.

а)  До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния пря­мых АВ и СQ лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ОСВ.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка QB.

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 61 месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­во­го ме­ся­ца долг дол­жен умень­шить­ся на 900 тысяч руб­лей, все сле­ду­ю­щие ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на 30 тысяч руб­лей. Най­ди­те r, если пе­ре­пла­та по кре­ди­ту со­ста­вит 1152 тысяч руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния x, при ко­то­рых ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a.

На­ту­раль­ное число, яв­ля­ю­ще­е­ся пол­ным квад­ра­том, об­ла­да­ет сле­ду­ю­щим свой­ством: если все его цифры умень­шить на одно и то же на­ту­раль­ное число, то по­лу­чит­ся число, также яв­ля­ю­ще­е­ся пол­ным квад­ра­том.

а)  При­ве­ди­те при­мер двух­знач­но­го числа, об­ла­да­ю­ще­го ука­зан­ным свой­ством.

б)  Най­ди­те все двух­знач­ные числа, об­ла­да­ю­щие ука­зан­ным свой­ством.

в)  Най­ди­те все че­ты­рех­знач­ные числа, об­ла­да­ю­щие ука­зан­ным свой­ством.