Имеются два многочлена от целочисленной переменной x:
Рассмотрим функцию 
от целочисленной переменной x, определенную для тех значений x, для которых 
а) Может ли функция f(x) принимать не целые значения при k = 3?
б) Может ли функция f(x) принимать не целые значения при k = 2 ?
в) При каких натуральных значениях k функция f(x) может принимать только целые значения?
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, упростим данное выражение
при 
Сразу отметим, что при 
имеем 
поэтому 
— целое. При 
имеем 
или 
поэтому 
— целое либо не определено. Поэтому в дальнейшем можно не думать про эти ограничения.
а) 
— не целое при 
б) 
— целое при целых x.
в) Как известно, при нечетном n верна формула 
Поэтому при четных k многочлен 
всегда делится на 
и потому частное будет целым при целых x.
При нечетных k имеем 
Выражение в скобках кратно 
поэтому можно будет записать 
в виде суммы многочлена с целыми коэффициентами и дроби 
дающей нецелое число при 
Ответ: а) да, б) нет, в) при четных.