Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д18 C7 № 527329
i

Дано на­ту­раль­ное че­ты­рех­знач­ное число n, в за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей. Для этого числа со­ста­вим дробь f(n), в чис­ли­те­ле ко­то­рой само число n, а в зна­ме­на­те­ле  — про­из­ве­де­ние всех цифр числа n.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го числа n, для ко­то­ро­го f левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 643, зна­ме­на­тель: 160 конец дроби .

б)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что f левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 343, зна­ме­на­тель: 160 конец дроби ?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь f(n), если она равна не­со­кра­ти­мой дроби со зна­ме­на­те­лем 160?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  На­при­мер, f левая круг­лая скоб­ка 3858 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 643, зна­ме­на­тель: 160 конец дроби .

 

б)  Ясно, что n де­лит­ся на 343, а его про­из­ве­де­ние цифр крат­но 160, то есть среди его цифр есть пя­тер­ка, а про­из­ве­де­ние осталь­ных де­лит­ся на 32. Вы­пи­шем все че­ты­рех­знач­ные числа, крат­ные 343, от 343 умно­жить на 3 до 343 умно­жить на 29: 1029, 1372, 1715, 2058, 2401, 2744, 3087, 3430, 3773, 4116, 4459, 4802, 5145, 5488, 5831, 6174, 6517, 6860, 7203, 7546, 7889, 8232, 8575, 8918, 9261, 9604, 9947. Остав­ля­ем числа с пя­тер­кой и без нуля: 1715, 4459, 5145, 5488, 5831, 6517, 7546, 8575. Из них толь­ко 5 умно­жить на 4 умно­жить на 8 умно­жить на 8 де­лит­ся на 32. Но f левая круг­лая скоб­ка 5488 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 343 умно­жить на 16, зна­ме­на­тель: 160 умно­жить на 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 343, зна­ме­на­тель: 80 конец дроби .

в)  До­ба­вим к пя­тер­ке три цифры, про­из­ве­де­ние ко­то­рых крат­но 32. По­лу­чим такие на­бо­ры:

− 5, 8, 8, x, число n долж­но со­кра­тить­ся на 2x;

− 5, 8, 4, x, число n долж­но со­кра­тить­ся на x;

− 5, 8, 2, 2; 5, 8, 6, 2; 5, 8, 6, 6; число n долж­но со­кра­тить­ся на 1, 3 или 9 со­от­вет­ствен­но;

− 5, 4, 4, 4, число n долж­но со­кра­тить­ся на 2;

− 5, 4, 4, 2; 5, 4, 4, 6, число n долж­но со­кра­тить­ся на 1 или 3 со­от­вет­ствен­но.

Раз­бе­рем эти слу­чаи. Сразу от­ме­тим, что f левая круг­лая скоб­ка 5868 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 489, зна­ме­на­тель: 160 конец дроби , по­это­му все от­ве­ты, боль­шие этого, можно от­бра­сы­вать сразу. По­это­му все ва­ри­ан­ты с со­кра­ще­ни­ем на 1, 2, 3, пе­ре­чис­лен­ные в конце, сразу не под­хо­дят  — они оста­вят чис­ли­тель, боль­ший 489. Со­кра­ще­ние на 9 числа из цифр 5, 8, 6, 6 не­воз­мож­но по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9. Далее:

− 5, 8, 8, 1 с со­кра­ще­ни­ем на 2 даст не мень­ше 1588:2 боль­ше 489;

− 5, 8, 8, 2 с со­кра­ще­ни­ем на 4 даст не мень­ше 2588:4 боль­ше 489;

− 5, 8, 8, 3 с со­кра­ще­ни­ем на 6 даст не мень­ше 3588:6 боль­ше 489;

− 5, 8, 8, 4 с со­кра­ще­ни­ем на 8 даст не мень­ше 4588:8 боль­ше 489;

− 5, 8, 8, 5 с со­кра­ще­ни­ем на 10 даст не мень­ше 5588:10 боль­ше 489;

− 5, 8, 8, 6 с со­кра­ще­ни­ем на 12: 5688 крат­но 24, про­чие дадут не мень­ше 5868:12=489;

− 5, 8, 8, 7 с со­кра­ще­ни­ем на 14: 5788, 5878, 5887 не крат­ны 14, про­чие дадут не мень­ше 7588:14 боль­ше 489;

− 5, 8, 8, 8 с со­кра­ще­ни­ем на 16: толь­ко 5888 крат­но 16, но оно крат­но и 32;

− 5, 8, 8, 9 с со­кра­ще­ни­ем на 18 не­воз­мож­но по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9;

− 5, 8, 4, x с со­кра­ще­ни­ем на x при пер­вой цифре x даст не менее 1000, а при пер­вой цифре 4 даст не менее 4000:x боль­ше 489 при x=1,2,\ldots,8. Если же x=9, то число из цифр 5, 8, 4, 9 не де­лит­ся на 9.

 

Ответ: а) 3858; б) нет; в) f левая круг­лая скоб­ка 5868 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 489, зна­ме­на­тель: 160 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 253
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025