СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 530069

В магазине продаются товары, каждый из которых стоит целое число рублей. Средняя цена товаров составляет 500 рублей. Однажды цены всех товаров уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену.

а) Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 450 рублей?

б) Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 449,5 рублей?

в) Известно, что средняя цена товара стала равной 449,1 рублей. После этого цены ещё раз уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену, и средняя цена товара стала равной 403,29 рублей. Какое наименьшее значение могла принимать цена одного товара изначально?

Решение.

а) Да, если, например, все товары стоили по 500 руб., то после снижения они все стали стоить по 450 руб.

б) Да, если, например, было два товара с ценами 499 руб. и 501 руб., то после снижения и округления стоимости они стали стоить 449 и 450 руб. соответственно, и условие выполнено.

в) Пусть изначально в магазине продавалось n товаров, которые стоили по xi руб., где До изменения цен средняя цена товаров была равна 500 руб.: откуда После снижения цен средняя цена стала равна 449,1 руб., следовательно, Выразим в целую часть через дробную по формуле

Полученная разность равна 449,1n, откуда

Обозначим тогда

Рассуждая аналогично, получаем:

а значит,

По условию, числа xi целые, а значит, Тогда Следовательно, при каждом i верно равенство и, соответственно, равенство

Запишем искомые числа в виде где Дробная часть этих чисел должна быть равна 0,9, откуда а значит, Следовательно, числа xi и yi заканчиваются на 1, то есть имеют вид

Рассмотрим теперь целую часть: Значит, cамое маленькое заканчивающееся на 1 число такое, что тоже заканчивается на 1, это число 91 (при ). Осталось привести набор чисел, удовлетворяющих условию:

 

Ответ: а) да, б) да, в) 91.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292.