ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 530069 Добавить в вариант

В магазине продаются товары, каждый из которых стоит целое число рублей. Средняя цена товаров составляет 500 рублей. Однажды цены всех товаров уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену.

а)  Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 450 рублей?

б)  Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 449,5 рублей?

в)  Известно, что средняя цена товара стала равной 449,1 рублей. После этого цены ещё раз уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену, и средняя цена товара стала равной 403,29 рублей. Какое наименьшее значение могла принимать цена одного товара изначально?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, если, например, все товары стоили по 500 руб., то после снижения они все стали стоить по 450 руб.

б)  Да, если, например, было два товара с ценами 499 руб. и 501 руб., то после снижения и округления стоимости они стали стоить 449 и 450 руб. соответственно, и условие выполнено.

в)  Пусть изначально в магазине продавалось n товаров, которые стоили по x_i руб., где $1 меньше или равно i меньше или равно n.$ До изменения цен средняя цена товаров была равна 500 руб.: $дробь: числитель: \sum пределы: от i=1 до n, x_i, знаменатель: n конец дроби =500,$ откуда $\sum пределы: от i=1 до n, x_i=500 n.$ После снижения цен средняя цена стала равна 449,1 руб., следовательно, $\sum пределы: от i=1 до n, левая квадратная скобка 0,9x_i правая квадратная скобка =449,1 n.$ Выразим в целую часть через дробную по формуле $левая квадратная скобка x правая квадратная скобка = x минус левая фигурная скобка x правая фигурная скобка :$

$\sum пределы: от i=1 до n, левая квадратная скобка 0,9x_i правая квадратная скобка =\sum пределы: от i=1 до n, левая круглая скобка 0,9x_i минус левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка правая круглая скобка =0,9\sum пределы: от i=1 до n, x_i минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка =$
$=0,9 умножить на 500n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка = 450n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка .$ $\sum пределы: от i=1 до n, левая квадратная скобка 0,9x_i правая квадратная скобка =\sum пределы: от i=1 до n, левая круглая скобка 0,9x_i минус левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка правая круглая скобка =$
$=0,9\sum пределы: от i=1 до n, x_i минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка =$
$=0,9 умножить на 500n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка = 450n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка .$

Полученная разность равна 449,1n, откуда $\sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка =450n минус 449,1n = 0,9n.$

Обозначим $y_i= левая квадратная скобка 0,9x_i правая квадратная скобка ,$ тогда

$система выражений \sum пределы: от i=1 до n, y_i=449,1n,\sum пределы: от i=1 до n, левая квадратная скобка 0,9y_i правая квадратная скобка =403,29n, конец системы .$

Рассуждая аналогично, получаем:

$\sum пределы: от i=1 до n, левая квадратная скобка 0,9y_i правая квадратная скобка =\sum пределы: от i=1 до n, левая круглая скобка 0,9y_i минус левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка правая круглая скобка =0,9\sum пределы: от i=1 до n, y_i минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка =$
$=0,9 умножить на 449,1n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка = 404,19n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка ,$ $\sum пределы: от i=1 до n, левая квадратная скобка 0,9y_i правая квадратная скобка =\sum пределы: от i=1 до n, левая круглая скобка 0,9y_i минус левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка правая круглая скобка =$
$=0,9\sum пределы: от i=1 до n, y_i минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка =0,9 умножить на 449,1n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка =$
$= 404,19n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка ,$ $\sum пределы: от i=1 до n, левая квадратная скобка 0,9y_i правая квадратная скобка =\sum пределы: от i=1 до n, левая круглая скобка 0,9y_i минус левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка правая круглая скобка =$
$=0,9\sum пределы: от i=1 до n, y_i минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка =$
$=0,9 умножить на 449,1n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка = 404,19n минус \sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка ,$

а значит, $\sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка = 404,19n минус 403,29n = 0,9n.$

По условию, числа x_i целые, а значит, $левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка \leqslant0,9.$ Тогда $0,9n=\sum пределы: от i=1 до n, левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка \leqslant0,9n.$ Следовательно, при каждом i верно равенство $левая фигурная скобка 0,9x_i правая фигурная скобка =0,9$ и, соответственно, равенство $левая фигурная скобка 0,9y_i правая фигурная скобка =0,9.$

Запишем искомые числа в виде $10t плюс k,$ где $t принадлежит N \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка ,$ $k=0, 1, 2, \ldots, 9.$ Дробная часть этих чисел должна быть равна 0,9, откуда $0,9= левая фигурная скобка 0,9 левая круглая скобка 10t плюс k правая круглая скобка правая фигурная скобка = левая фигурная скобка 5t плюс 0,9k правая фигурная скобка = левая фигурная скобка 0,9k правая фигурная скобка ,$ а значит, $k=1.$ Следовательно, числа x_i и y_i заканчиваются на 1, то есть имеют вид $10t плюс 1.$

Рассмотрим теперь целую часть: $левая квадратная скобка 0,9 левая круглая скобка 10t плюс 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка = левая квадратная скобка 9t плюс 0,9 правая квадратная скобка =9t.$ Значит, cамое маленькое заканчивающееся на 1 число $x_i,$ такое, что $левая квадратная скобка 0,9x_i правая квадратная скобка$ тоже заканчивается на 1, это число 91 (при $t=9$ ). Осталось привести набор чисел, удовлетворяющих условию: $x_1=91,$ $x_2=1791,$ $x_3=...=x_100 = 491.$

Ответ: а) да, б) да, в) 91.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь