Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 527639

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 300?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 17?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 17, может быть на доске?

Спрятать решение

Решение.

а)  Предположим, на доске написано число 300. Тогда возьмём 99 наименьших различных натуральных чисел и число 300:

1, 2, 3, ... , 98, 99, 300.

Их сумма  дробь: числитель: 1 плюс 99, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 99 плюс 300 = 5250. Значит, если на доске написано число 300, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5250, что противоречит условию.

б) Предположим, на доске не написано число 17. Тогда возьмём числа

1, 2, 3, ... ,15, 16, 18, 19, 20, ... , 99, 100, 101.

Их сумма  дробь: числитель: 1 плюс 101, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 101 минус 17 = 5134. Значит, если на доске не написано число 17, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5134, что противоречит условию.

в) Первыми шестью числами, кратными 17, являются числа 17, 34, 51, 68, 85, 102. Предположим, что на доске меньше трёх чисел, кратных 17. Возьмём сто различных натуральных чисел от 1 до 100, и три числа 51, 68 и 85 заменим на 101, 103, 104 (следующие наименьшие числа, не кратные 17). Получаем числа

1, 2, 3, ... , 49, 50, 52, 53, ... , 66, 67, 69, 70, ... , 83, 84, 86, 87, ... , 100, 101, 103, 104.

Их сумма  дробь: числитель: 1 плюс 104, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 104 минус 51 минус 68 минус 85 минус 102 = 5154. Значит, если на доске написано меньше трёх чисел, кратных 17, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5154, что противоречит условию. Значит, на доске не может быть написано меньше трёх чисел, кратных 17.

Приведём пример, для которого выполняются все условия задачи, когда на доске написано три числа кратных 17 (17, 34 и 51):

1, 2, 3, ... , 66, 67, 69, 70, ... , 83, 84, 86, 87, ... , 100, 101, 132.

 

Ответ: а) нет, б) нет, в) 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства