а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти A₁BD и B₁D₁C па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между плос­ко­стя­ми A₁BD и B₁D₁C.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точке G. Пер­вая окруж­ность с цен­тром в точке Q ка­са­ет­ся двух па­рал­лель­ных пря­мых a и b. Вто­рая  — имеет центр в точке О, ка­са­ет­ся пря­мой a, а общая ка­са­тель­ная окруж­но­стей, про­хо­дя­щая через точку G, пе­ре­се­ка­ет пря­мую a в точке D, а пря­мую b  — в точке А. Пря­мая АО пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым a и b.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей от­но­сят­ся как 1 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AODQ, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 8.

1 ап­ре­ля 2019 г. Ан­дрей Пет­ро­вич по­ло­жил 10 000 руб­лей на бан­ков­ский вклад сро­ком на 1 год с еже­ме­сяч­ным на­чис­ле­ни­ем про­цен­тов и ка­пи­та­ли­за­ци­ей под 21% го­до­вых. Это озна­ча­ет, что пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма вкла­да уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов, рас­счи­тан­ное таким об­ра­зом, что за 12 ме­ся­цев она уве­ли­чит­ся ровно на 21%. Через сколь­ко ме­ся­цев сумма вкла­да впер­вые пре­вы­сит 11 000 руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно одно ре­ше­ние.

В ма­га­зи­не про­да­ют­ся то­ва­ры, каж­дый из ко­то­рых стоит целое число руб­лей. Сред­няя цена то­ва­ров со­став­ля­ет 500 руб­лей. Од­на­ж­ды цены всех то­ва­ров умень­ши­ли на 10%, а потом округ­ли­ли до наи­боль­ше­го це­ло­го числа руб­лей, не пре­вос­хо­дя­ще­го умень­шен­ную цену.

а)  Могла ли после этого сред­няя цена то­ва­ра стать рав­ной 450 руб­лей?

б)  Могла ли после этого сред­няя цена то­ва­ра стать рав­ной 449,5 руб­лей?

в)  Из­вест­но, что сред­няя цена то­ва­ра стала рав­ной 449,1 руб­лей. После этого цены ещё раз умень­ши­ли на 10%, а потом округ­ли­ли до наи­боль­ше­го це­ло­го числа руб­лей, не пре­вос­хо­дя­ще­го умень­шен­ную цену, и сред­няя цена то­ва­ра стала рав­ной 403,29 руб­лей. Какое наи­мень­шее зна­че­ние могла при­ни­мать цена од­но­го то­ва­ра из­на­чаль­но?