ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 515654 Добавить в вариант

Решите в целых числах уравнение $3 в степени n плюс 8=x в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Если $n меньше 0, 3 в степени n минус 8$   — не целое число, тогда $x в квадрате$ тоже нецелое, решений нет.

Если $n=0, 9=x в квадрате равносильно x=\pm3.$

Если $n больше 0, 3 в степени n плюс 8$ при делении на 3 дает остаток два.

Пусть $x=3k,$ тогда $x в квадрате =9k в квадрате$   — кратно 3.

Пусть $x=3k плюс 1,$ тогда $x в квадрате = левая круглая скобка 3k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =9k в квадрате плюс 6k плюс 1$   — при делении на 3 остаток 1.

Пусть $x=3k плюс 2,$ тогда $x в квадрате = левая круглая скобка 3k плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =9k в квадрате плюс 12k плюс 3 плюс 1$   — при делении на 3 остаток 1.

Таким образом, квадрат целого числа не дает остаток 2 при делении на 3, значит, при $n больше 0$ решений нет.

Ответ: $n=0,$ $x=3;$ $n=0,$ $x= минус 3.,$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источники:

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7;

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь