По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно ()

Дей­стви­тель­но, пусть Пред­по­ло­жим, что наи­мень­ший пе­ри­од по­лу­чен­но­го ра­ци­о­наль­но­го числа равен Тогда Tk  — тоже пе­ри­од при любом на­ту­раль­ном Пусть пер­вый пе­ри­од на­чи­на­ет­ся с не­ко­то­рой по счету цифры, при­над­ле­жа­щей де­ся­тич­ной за­пи­си сте­пе­ни Возь­мем пе­ри­од такой длины Tk, чтобы эта длина была боль­ше, чем длина за­пи­си

В за­пи­си числа цифр столь­ко же, сколь­ко в или на одну боль­ше. Ана­ло­гич­но, число длин­нее, чем не более, чем на две цифры и так далее. Зна­чит, можно найти такую сте­пень что число имеет длину

Цифры числа за­ни­ма­ют весь пе­ри­од  — груп­пу дли­ной Тогда в за­пи­си сле­ду­ю­ще­го числа пер­вые Tk цифр тоже об­ра­зу­ют пе­ри­од и долж­ны по­вто­рять цифры числа

По­лу­ча­ет­ся, что либо либо где   — какое-то од­но­знач­ное число. По­след­нее ра­вен­ство не­воз­мож­но, так как

Сле­до­ва­тель­но, верно от­ку­да Де­ся­тич­ная дробь имеет вид

Ответ: