Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 527392

Имеется несколько камней, массы которых — различные натуральные числа.

а) Можно ли разложить 10 камней с массами 1, 2, 3, ..., 10 по шести кучкам так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 10?

б) Можно ли разложить камни массами 370, 372, 374, ..., 468 на семь кучек так, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000?

в) Дополнительно известно, что общая сумма масс камней равна 4000, а масса каждой кучки, как и каждого камня, не превосходит 100. Какое минимальное количество таких кучек придется задействовать, чтобы гарантированно распределить данные камни?

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Например,

101 и 92 и 83 и 74 и 65

 

б) Всего имеется 50 камней. При любом распределении 50 камней по семи кучкам, всегда найдётся такая кучка, в которой окажутся минимум 8 камней. Минимальная масса восьми камней равна

370 плюс 372 плюс 374 плюс ... плюс 384= дробь: числитель: 370 плюс 384, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8=3016,

что противоречит условию. Значит, 50 таких камней нельзя разложить на семь кучек, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000.

 

в) Покажем, что любой набор камней, удовлетворяющий условиям задачи, можно разложить не более чем на 51 кучку. Разложим сто различных камней следующим образом: 50, 49 и 51, 48 и 52, ..., 1 и 99, 100. Получаем 51 кучку. Общая масса всех камней при этом равна  дробь: числитель: 1 плюс 100, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 100 = 5050. Теперь, убирая любые камни, суммарная масса которых равна 1050, оставляем не более 51 кучки.

Заметим, что  дробь: числитель: 50 плюс 100, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 51 = 3825. Таким образом, сумма чисел 50, 51, 52, ..., 100 не превосходит 4000. При этом никакие два из соответствующих камней не могут оказаться в одной кучке, в противном случае, масса этой кучки будет превосходить 100. Значит, чтобы гарантированно разложить любой набор камней, количество кучек не может быть меньше 51.

Набор камней с массами 31, 47, 48, 49, ..., 99, 100 в соответствии с условиями задачи может быть разложен на 51 кучку следующим образом : 31 и 50, 49 и 51, 48 и 52, 47 и 53, 54, 55, ..., 99, 100.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 51.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 279.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства