а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние ABCD приз­мы   — тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми AB  =  2CD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость про­хо­дит через се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра

б)  Най­ди­те угол между бо­ко­вым реб­ром и этой плос­ко­стью, если приз­ма пря­мая, тра­пе­ция ABCD пря­мо­уголь­ная с пря­мым углом при вер­ши­не B, а BC  =  CD и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка I  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Луч BI пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке N . Из­вест­но, что угол ABC равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что N  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AIC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что IN  =  1.

Кли­ент по­ло­жил в банк не­ко­то­рую сумму денег. Через год, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, он до­ба­вил на свой счет сумму, со­став­ля­ю­щую 0,9 ис­ход­ной, в ре­зуль­та­те чего оста­ток на счете стал равен 3,4 млн руб­лей. А еще через год, после на­чис­ле­ния про­цен­тов, оста­ток на его счете уве­ли­чил­ся в 2,2 раза по срав­не­нию с ис­ход­ной сум­мой. Какую сумму кли­ент по­ло­жил в банк пер­во­на­чаль­но, если в конце каж­до­го года банк

на­чис­лял один и тот же про­цент го­до­вых?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра такие, что не­ра­вен­ство

не имеет ре­ше­ний.

На доске вы­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 1 до 2014 без про­пус­ков и по­вто­ре­ний: 1, 2, 3, …, 2013, 2014. С вы­пи­сан­ны­ми на доске чис­ла­ми про­де­лы­ва­ют сле­ду­ю­щие опе­ра­ции: вы­би­ра­ют какие‐либо два числа и за­пи­сы­ва­ют на доске мо­дуль их раз­но­сти, уве­ли­чен­ный на 1, а сами вы­бран­ные числа сти­ра­ют. Так про­дол­жа­ют до тех пор, пока на доске не оста­нет­ся толь­ко одно число.

а)  Какое наи­мень­шее число может остать­ся на доске?

б)  Какое наи­боль­шее число может остать­ся на доске?