ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 527322 Добавить в вариант

На доске написаны числа 3 и 5. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой $2a минус 1$ и $a плюс b плюс 1$ (например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9, либо числа 9 и 9).

а)  Может ли получиться так, что после нескольких ходов на доске будут написаны числа 73 и 75?

б)  Может ли получиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 35?

в)  После 2017 ходов на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например:

$левая круглая скобка 3;5 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 9;9 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 17;19 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 37;37 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 73;75 правая круглая скобка .$

б)  Нет. Очевидно $2a минус 1 больше или равно a$ и $a плюс b плюс 1 больше b,$ поэтому как только оба числа в паре станут больше 35, дальше можно не перебирать.

На первом шаге можно получить $левая круглая скобка 5;9 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка 9;9 правая круглая скобка .$

На втором: $левая круглая скобка 9;15 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 17;15 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка 17;19 правая круглая скобка$

На третьем: $левая круглая скобка 17;25 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 29;25 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 33;33 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 29;33 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 33;37 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 37;37 правая круглая скобка .$

Все пары, кроме первой, дадут числа, большие 35. Первая может дать $левая круглая скобка 33;43 правая круглая скобка$ и после еще одного хода числа превысят 35.

в)  Если числа дают остатки 1 и 3 от деления на 4, то их сумма кратна 4, поэтому $2a минус 1,$ $2b минус 1$ и $a плюс b плюс 1$ дают остаток 1 при делении на 4.

Если же оба числа дают остаток 1 при делении на 4, то $2a минус 1$ или $2b минус 1$ дает остаток 1, а $a плюс b плюс 1$ дает остаток 3 при делении на 4.

Итак, пары остатков чередуются  — после нечетного хода это $левая круглая скобка 1;1 правая круглая скобка ,$ после четного  — $левая круглая скобка 1;3 правая круглая скобка .$ Поскольку числа не равны и дают одинаковый остаток от деления на 4, разность между ними не меньше 4. Этого достичь можно. Первым ходом получим пару $левая круглая скобка 5;9 правая круглая скобка .$ А затем с парой $левая круглая скобка x;x плюс 4 правая круглая скобка$ будет проделывать пары ходов

$левая круглая скобка x;x плюс 4 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 2x минус 1;2x плюс 5 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 4x плюс 5;4x плюс 9 правая круглая скобка ,$

после которых разность чисел в паре будет сохраняться.

Ответ: а) да; б) нет; в) 4.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь