1. Тип 18 № 509506 
Источники:
Классификатор алгебры: Комбинация прямых
Методы алгебры: Группировка
Задача с параметром. Системы с параметром
i
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Заметим, что
Поэтому исходная система равносильна смешанной системе
Полученная смешанная система имеет ровно два решения в том и только в том случае, когда прямые 
имеет с графиком системы
ровно две общие точки. Прямые, соответствующие границам этих случаев, пронумерованы на рисунке числами от 1 до 5. Искомыми значениями параметра являются 
Ответ:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Ответ:
509506
имеет единственную общую точку с объединением двух лучей 
и 
при условиях 
(см. рис.).
поэтому при 
корней нет, при 
получаем один корень 
при 
получаем два различных корня. У параболы 
— ветви вверх, абсцисса вершины равна 
то есть при 
а при 
один корень меньше −3, а другой — больше −3.
с учётом 
из 
получаем, что x = 4, a = −3.
задает пару пересекающихся прямых 
и 
то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис. 
задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку 
Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и 
Поэтому при 
прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч 
Поэтому при 
прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч 
прямая m пресечет и луч BD, и луч 
прямая m пересечет только луч CE, а при 
она не пересечет ни луч BD, ни луч 
имеет ровно два решения.
то она имеет и решения 
и 
Чтобы система имела ровно два решения, какие-то из пар должны совпадать. 
и 
а второе принимает вид 
что невозможно одновременно. 
то первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что также невозможно.
Теперь первое уравнение системы принимает вид 
В этом случае 
откуда получаем единственное возможное значение 
второе уравнение системы, а значит, и вся система решений не имеет. При 
уравнения системы задают прямые:
система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при 
— два решения (координаты точек M и N).
является решением системы, если 
При этом значении параметра система принимает вид 
или 
Такое значение параметра не подходит по условию. Следовательно, чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы 
а потому 
и можно разделить обе части второго уравнения на х. Находим:
получим уравнение 
имеет ровно один положительный корень. Если полученное уравнение имеет два корня, то эти корни одного знака, так как по теореме Виета 
значит, этот случай не подходит. Найдем четверть дискриминанта: 
Полученное выражение обращается в нуль при 
Это решение положительное, поэтому найденное значение параметра искомое. 
полученная система несовместна. При 
первое уравнение задает окружность, которая должна иметь ровно две общие точки с прямыми 
имеет решения?
Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения a находятся из совокупности неравенств
и 
или 
что дает 
В этом случае 
Тогда:
откуда 
что дает 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
имеет бесконечно много решений?
удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые. Тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. Заметим при этом, что вне зависимости от значений параметров первое уравнение системы задаёт не горизонтальную прямую (коэффициент перед x не равен нулю), а второе — не вертикальную (коэффициент перед y не равен нулю), значит, оба уравнения в системе можно привести к виду 
В общем случае две прямые, заданные уравнениями 
и 
совпадают, если, 
и 
(при 
они имеют одну точку пересечения, при 
точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система
и 
или 
система имеет единственное решение 
если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, получим 
имеет единственное решение при любом 
Если 
или 
то уравнение принимает вид 
и 
соответственно. Исходная система будет иметь решения если существуют a и c, удовлетворяющие полученным соотношениям. При 
они не выполняются ни при каких значениях параметров. При 
и 
Решая неравенства, находим 
и 
Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь, получаем: 
и 
После преобразований получим: 
и 
Прямые не имеют общих точек тогда и только тогда, когда выполняются условия: 
и 
Находим: 
и 
Из первого уравнения находим 
Подставляя во второе соотношение, получим квадратные уравнения относительно с: 
и 
Они не имеют корней, если а = 0 или если их дискриминанты отрицательны. Из условий 
и 
получаем 
При найденных значениях а система не имеет решений. При прочих — имеет.
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой 
с прямой 
и при 
пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
проходит через точку пересечения прямой 
и при 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 1.
и/или 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
и 
при 
При этом прямая 
и при 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 3.
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
и 
имеют с прямой 
(см. рис.).
два решения, при 
два решения, при 
три решения, при 
четыре решения, при 
три решения, при 
четыре решения.
и прямая 
имеют с прямой 
две различных точки пересечения на области 
(см. рис.).
система имеет одно решение;
— два решения; 
— три решения;
— три решения.
Решения первого уравнения системы совпадают с решениями уравнений 
имеет единственное решение при любом значении a.
откуда 
C учётом условия 
получаем, что при 
решений нет, а при 
имеется одно решение.
откуда 
C учётом условия 
решений нет, а при 
имеет одно решение.
либо 
откуда 
либо 
откуда 
имеет два решения при 
имеет три решения при 
и 
и/или 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
и 
то получаем уравнение
и 
Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата 
с вершиной в начале координат. 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox. 
и 
Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy. 
и 
Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата 
являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
отрезка AB прямой 
дуги 
параболы 
с концами в точках B и C и дуги 
параболы 
с концами в точках A и C (см. рис.)
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги 
то получаем уравнение 
удовлетворяют уравнению
то получаем уравнение 
параболы 
c концом в точке 
во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 2, в третьем — дугу 
параболы 
с концом в точке А (см. рис.). 
и 
как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Таким образом, при 
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
имеет две общие точки с дугой 
или 
; возможно, с включением граничных точек
или 
уравнение 
принимает вид 
при 
его можно записать в виде 
Уравнение (**) задает окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом 
Таким образом, график первого уравнения исходной системы имеет вид, приведенный на рисунке синим цветом. 
получаемых сдвигом прямой 
(выделено на рисунке красным) или прямые 
лежат между прямыми m и n (см. рис.). Здесь прямая m проходит через точку (−1; 1), а прямая n является касательной к окружности. 
которая имеет единственное решение 
Заметим, что при любых положительных значениях a эти две прямые лежат ниже прямой 
(на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому 
пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).
в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений
и 
приходим к ответу.
но неверно определены промежутки значений a 
и 
возможно, с включением граничных точек
и 
:
и 
Следовательно, не существует таких значений а, при которых хотя бы при одном c система уравнений имеет решения для любых значений b.
а значит, единственным корнем уравнения является 
Тогда исходная система или имеет единственное решение 
или не имеет решений.
(*)
находим 
или 
и 
соответственно, имеющим единственное решение.
2, 3.
На ОДЗ преобразуем второе уравнение системы: 
(см. рис., выделено синим, зеленым, красным). Графиком второго уравнения системы является правая ветвь гиперболы 
с выколотыми точками 
и 
(на рисунке изображено оранжевым цветом). В зависимости от значения параметра a прямая и гипербола могут не иметь общих точек или иметь одну или две общие точки. 
прямая 
изображенная на на рисунке зелёным цветом, проходит через выколотые точки гиперболы: точки 
При 
где 
— значение параметра, при котором прямая касается гиперболы (на рисунке изображено синим цветом).
этого уравнения равен нулю. Тогда 
система имеет два решения, а при 
или 
— одно решение.
и переформулируем задачу. Заметим, что любому значению 
найдётся соответствующее значение x. Поэтому требуется найти все значения параметра a, при которых будет иметь положительное решение t система уравнений
система примет вид
поэтому наличие решений у системы определяется наличием решений у уравнения (1). Для всех 
Решим это двойное неравенство методом интервалов:
Тогда, в силу взаимной однозначности соответствия переменных в уравнении 
количество решений системы совпадает с количеством решений уравнения 
не является решением уравнения (⁎) ни при каких значениях параметра a. Значит, совокупность имеет не более двух решений, если уравнение (⁎) имеет не более одного решения.
уравнение (⁎) является линейным и имеет единственный корень 
Значит, значения 
уравнение (⁎) является квадратным и имеет не более одного корня, если его дискриминант неположителен. Имеем:
или если 
это вертикальные углы, образованные прямыми 
и 
(см. рис., выделено синим); 
это вертикальные углы, образованные прямыми 
и 
(выделено красным). 
или 
где 
— абсцисса точки пересечения прямых 
а 
— абсцисса точки пересечения прямых 
или 
или 
система имеет бесконечно много решений, если 
или 
Заметим, что 
Каждому значению 
соответствуют два значения переменной x, а значению 
— одно значение переменной x. Тогда уравнение (⁎) записывается в виде
не имеет решений. Если 
то 
или при 
Заметим, что 
Каждому значению 
соответствуют два значения переменной x, а значению 
— одно значение переменной x. Система принимает вид
и 
Графиком второго уравнения системы будет являться окружность (вырождающаяся в точку при 
система (⁎) не имеет решений, а значит, и исходная система не имеет решений.
система (⁎) имеет два решения (выделено красным), причём для обоих решений 
значит, исходная система имеет четыре решения.
система (⁎) имеет четыре решения (выделено зелёным), причём для всех решений 
система (⁎) имеет шесть решений (выделено оранжевым), для четырёх из которых 
значит, исходная система имеет десять решений.
система (⁎) имеет шесть решений, причём для всех решений 
система (⁎) имеет три решения (выделено небесно-голубым), причём для всех решений 
система (⁎) не имеет решений, а значит и исходная система не имеет решений.
или 
Заметим, что 
Каждому значению 
соответствуют два значения переменной y, а значению 
— одно значение переменной y. Система принимает вид
окружности с центром в точке 
и радиусом 
при 
окружности с центром в точке 
и радиусом 
C учётом ограничения 
остаются две дуги и точка (выделено синим). Графиком второго уравнения системы (⁎) является прямая 
положение которой зависит от параметра a. 
должна проходить через одну из точек 
и не пересекать график первого уравнения в других точках. Это достигается при 
(выделено пурпурным).
первое уравнение исходной системы не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений. Поэтому умножение второго уравнения на 
не приводит к появлению посторонних корней. Следовательно, исходная система равносильна системе
уравнение принимает вид 
то есть является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 
Таким образом, при 
(см. ниже, рис. слева). Отражая построенную дугу относительно оси ординат, а затем обе полученные дуги относительно оси абсцисс, получаем график первого уравнения системы (см. ниже, рис. справа).
является пучок прямых, проходящих через точку 
Количество решений исходной системы совпадает с количеством точек пересечения графиков ее уравнений. Тем самым (см. рис.) исходная система может не иметь решений, либо иметь одно, два, три или четыре решения. 
если прямая 
если прямая 
или при 
если прямая проходит через точку 
(выделено зелёным), 
или 
если прямая 
не может касаться графика первого уравнения в третьей координатной четверти, поэтому другие случаи невозможны. Найдём соответствующие значения параметра. 
Найдём 
подставив координаты точки 
подставив координаты точки 
найдём, воспользовавшись формулой расстояния от точки 
которое равно радиусу 
и 
или 
и точки 
Единственное решение будет тогда и только тогда, когда прямая 
касается круга, но не проходит через точку M, или проходит через точку M, но не имеет общих точек с кругом. Составим систему: 
то есть 
и 
проходит через точку M. Проверим, пересекает ли она круг. Достаточно найти знак дискриминанта D при 
:
Второе уравнение задаёт две прямые 
и 
или 
Центр ромба удалён от прямой 
или 
а центр ромба удалён от прямой 
на 1, поэтому прямая 
Подставим 
а потому при каждом из этих значений a система имеет ровно три решения.
0.
Следовательно, данная система не имеет решения тогда и только тогда, когда второму неравенству системы не удовлетворяет ни одно из решений первого неравенства.
пересекает график первого уравнения системы в точке 
должна иметь с графиком первого уравнения системы не менее двух общих точек. Каждая из этих прямых проходит через точку с координатами 
происходит касание прямой и гиперболы.
то есть уравнение 
должно иметь единственное решение. Дискриминант полученного уравнения равен 
он обращается в нуль при 
помимо точки B графики имеют еще две общие точки, что подходит. При 
получаем горизонтальную прямую 
она не пересекает график первого уравнения. Положительные значения параметра подходят все, кроме значения 
При 
походит через точку B, а потому графики имеют лишь две общие точки.
отличных от 
0 и 2.
и участка параболы 
на отрезке 
с выколотыми точками 
Графиком второго уравнения для каждого значения параметра является горизонтальная прямая. Система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда графики уравнений имеют ровно две общие точки. Из построенных графиков находим искомые значения y:
и 
а потому система имеет четыре различных решения, если ее первое уравнение имеет два различных решения 
при 
и имеет два различных решения 
при 
Причем пара решений 
входит в оба случая, а потому соответствующее значение параметра необходимо исключить. Найдем его, подставив решение 
в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной y виду. Получим:
полученное уравнение решений не имеет, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:
если его дискриминант положителен, то есть при 
или при 
в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной x виду. Получим: 
если 
или 
и 
лежащий не выше кривой 
и не ниже кривой 
(см. рис.). Из рисунка видно, что при 
и 
решений нет. При 
решением является 
При 
решением является отрезок 
где 
Значит, решением будет являться отрезок длиной 15, только если 
Это достигается при 
или при 
решается устно.
Каждому значению переменной y соответствует ровно одно значение переменной t, значит, при такой замене количество решений системы не изменится. Получаем:
второе уравнение, а значит, и вся система не имеет решений. При 
решением второго уравнения является только пара чисел 
которая не является решением первого уравнения, поэтому система не имеет решений.
в системе координат xOt графиком второго уравнения является окружность с центром в точке 
а графиком первого уравнения являются стороны квадрата с вершинами в точках 
и 
Тогда ровно четыре решения система имеет в случаях, если окружность является либо вписанной в квадрат 
либо описанной около квадрата 
в остальных случаях система либо не имеет решений, либо имеет восемь решений. Значит,
и 
а графиком второго уравнения является объединение двух гипербол (см. рис.). Точки пересечения гипербол и квадрата в первой четверти найдём из системы
и 
является число 
При этом значении параметра уравнение 
имеет ровно одно решение, лежащее в первой четверти, а потому в силу симметрии гипербола имеет с окружностью ровно 4 общих точки, лежащих по одной в каждой координатной четверти. При 
общих точек нет. При 
выражение 
положительно, поэтому гипербола и окружность пересекаются в 8 точках, лежащих по две в каждой координатной четверти. 
система не имеет решений;
система имеет 4 решения;
система имеет 8 решений;
система имеет 12 решений;
система имеет 16 решений;
система имеет 8 решений;
система имеет 16 решений;
система имеет 12 решений;
система имеет 8 решений.
(квадрат вписан в окружность).
или 
Тогда 
Тогда 
и уравнение принимает вид
и 
не выше прямой 
и не ниже параболы 
Абсциссы концов нижнего отрезка найдем из уравнения 
получим 
Разность абсцисс концов отрезков должна быть равна двум, имеем:
или 
и 
Графиком второго уравнения системы является пучок прямых проходящих через точку 
система не имеет решений, при 
система имеет одно решение, при 
система имеет два решения, 
система имеет одно решение, при 
система не имеет решений.
и 
включая сами прямые (выделено синим). Второму неравенству соответствует полоса между прямыми 
и 
включая сами прямые (выделено красным). Решением системы будут общие точки частей плоскости, соответствующих первому и второму неравенствам (выделено фиолетовым). Таким образом, система имеет хотя бы одно решение при 
равен
то неравенство 
не имеет решений.
то 
и на отрезке [−2; 1] решений нет.
то получаем систему неравенств: 
Чтобы на отрезке [−2; 1] было решение, нужно, чтобы наименьшее из чисел a и −2a было больше чем −2: 
построим графики 
и 
Первый график — парабола 
и второй — прямая 
разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены зелёным) неравенство выполняется. 
является пучок прямых 
проходящих через точку с координатами 
имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях. 
(выделено оранжевым). Тогда 
должно иметь единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант:
При 
абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При 
имеет бесконечное число решений;
имеет одно решение;
имеет бесконечное число решений.
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
и при 
(см. рис.).
три решения, при 
два решения, при 
одно решение.
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
касательными к окружности при найденных значениях параметра.
центр окружности имеет координаты 
а радиус равен 
Расстояние от точки 
до прямых 
Равенство 
является верным, значит, при 
центр окружности имеет координаты 
а радиус равен 
Расстояние от точки 
до прямых 
Равенство 
является неверным, значит, при 
(выделено синим). При 
графиком второго уравнения является окружность с центром в точке 
вырождающаяся в точку при 
При 
второе уравнение, а вместе с ним и вся система, решений не имеют. 
Значит, чтобы система имела нечётное число решений, окружность должна проходить либо через точку 
либо через точку 
Найдём соответствующие значения параметра a.
при
при
радиус окружности равен 2 (выделено красным). Значит, окружность не имеет общих точек с прямой 
центр окружности находится в точке 
радиус окружности равен 106 (выделено цветом фуксии). Значит, окружность не имеет общих точек с прямой 
радиус окружности равен 6 (выделено оранжевым). Тогда окружность касается прямой 
значит, система имеет ровно пять решений.
центр окружности находится в точке 
радиус окружности равен 18 (выделено зелёным). Тогда окружность касается прямой 
Выражение 
положительно при всех значениях x, поэтому на него можно разделить, откуда получаем уравнение 
их сумма равна 
поэтому корни суть 
и 
Получаем равносильную систему:
и 
если выполняется условие
если выполняется условие
Этими решениями являются пары чисел 
и 
При других значениях параметра исходная система будет иметь или три, или четыре различных решения.
система имеет три решения 
система имеет четыре решения 
система имеет два решения 
система имеет четыре решения 
система имеет три решения 
и 
Графиком неравенства системы является круг с центром в точке 
и радиусом 
при 
вырождающийся в точку 
Прямые 
не проходят через точку 
значит, система может иметь ровно одно решение только в случае, если одна из прямых является касательной к окружности 
Прямые 
и 
значит, прямая 
Прямые 
перпендикулярны и пересекаются в точке (0; −1), а потому прямая 
касается окружности в точке (0; −1).
окружность не имеет общих точек с прямой 
а при 
или 
прямая 
прямая 
прямая 
при
значит, при 
прямая 
прямая 
задает прямую 
Система 
расположенную не выше прямой 
и параболы 
найдем из уравнения
задает семейство прямых, проходящих через точку (−1; 0). Если a = 1, то прямая 
В этом случае должно иметь единственное решение уравнение 
При a = −1 находим: x = 3, соответствующая прямая изображена красным цветом. При a = −17 абсцисса точка касания x = −5 < 0, то есть точка касания не лежит на графике Г1.
вторая лежит в четвертой четверти и является точкой касания с параболой. 
графики имеют три точки пересечений, две из которых лежат на параболе, а третья лежит на прямой 
(случай 
изображен зеленым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, одна из которых лежит на параболе, а вторая лежит на прямой 
у графиков Г1 и Г2 имеется лишь одна общая точка, она лежит во второй четверти на прямой 
и гиперболы 
Графиком второго уравнения является прямая, параллельная прямой 
и проходящая через точку 
пересекаются при любом a, поэтому ровно два решения система будет иметь в случае, когда прямая 
касается гиперболы или проходит через одну из точек пересечения гиперболы и прямой 
и гиперболы: 
и 
соответственно.
и дуги окружности радиуса 3 с центром в точке (−3; 0), лежащей выше этой прямой.
и 
пересекаются при любом a, поэтому система имеет два решения тогда и только тогда, когда прямая 
касается дуги тогда, когда уравнение
Получаем:
прямая 
а также пересекает один раз дугу, следовательно, исходная система имеет ровно два различных решения.
расположенную не выше прямой 
Найдем абсциссу вершины параболы: 
тогда 
и 
имеет всегда одну общую точку с прямой 
так как не параллельна ей, следовательно, система будет иметь два различных решения в двух случаях: 
).
имеет одно решение. Выполним преобразования:
имеет единственное решение, x = 5. Проверим, что при x = 5 точка касания лежит не ниже прямой 
имеет 2 различных решения. Имеем:
— верно.
тогда 
Имеем:
получаем: 
расположенную не ниже прямой 
Найдем точки пересечения прямой 
и гиперболы 
— это невертикальная прямая, проходящая через точку (0; −14). Если a < 0, то 
так как коэффициенты различны. Чтобы узнать, пересекает ли прямая 
гиперболу 
решим уравнение 
и 
но поскольку a < 0, то 
следовательно, с правой частью гиперболы 
прямая 
— эта прямая параллельна оси x, следовательно, имеет с гиперболой 
Если с гиперболой нет общих точек, то решений не более 1 и такая ситуация не подходит. 
равен нулю:
(при a > 0). Если 
то 
— 
— два различных решения.
имеет два различных решения. Выполним преобразования:
Его дискриминант равен 
Если D > 0, то 
— всего 2 решения, a = 4 подходит. Если D < 0, то всего 1 решение, что не подходит.
и должно выполняться 
чтобы было 2 решения. Имеем:
должен быть больше или равен 
а корень 
должен быть меньше 
Если 
то (1) верно, а (2) преобразится в 
то получим, что 
Если 
то (1) и (2) верно — 
подходит. Если 
то (2) верно, а (1) преобразуется в 
то 
и части графика 
лежащей ниже этой прямой (выделено оранжевым). При 
это отрезок AD прямой 
где 
— точка прямой с абсциссой 
а 
— точка её пересечения с 
При 
функция имеет вид 
её график это отрезок AB, где 
— точка прямой с абсциссой 
При 
где 
— точка её пересечения с 
) и когда она лежит между прямыми, проходящими через точку C (включая) и точку D (исключая). Через точку C прямая проходит при 
а через точку D — при 
Откуда и следует ответ.
и 
то получаем уравнение
лежащего в третьей координатной четверти и имеющий вершину в начале координат. 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая выше оси Ox и расположенная между прямыми 
и 
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая правее оси Oy и заключенная между прямыми 
и 
и 
и 
прямая m пересекает график Г в трех точках точках, а значит, исходная система имеет три решения.
и 
то получаем уравнение: 
то получаем уравнение: 
и 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
дуги 
с концами в точках B и C и дуги 
с концами в точках A и C (см. рис.). 
прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений. 
прямая m касается дуг 
прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг 
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги 
отвечает этому требованию для обеих парабол.
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых 
Количество решений исходной системы равно количеству точек пересечения построенных графиков. Поэтому исходная система: 
не имеет решений;
имеет одно решение;
три решения;
три решения;
два решения;
одно решение;
не имеет решений.
тогда:
тогда
и 
тогда
тогда
Чтобы система имела два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы два различных решения имело уравнение
имеет ровно один отрицательный корень, при 
не имеет отрицательных корней.
находим:
не имеет корней, при 
имеет два положительных корня, при 
имеет ровно один положительный корень.
и 
и 
получим равносильную систему с таким же количеством решений, так как u и υ суть линейные выражения. Тогда:
и 
поскольку произведение этих величин равно 3.
получим: 
Чтобы найти, при каких значениях параметра исходная система имеет ровно два различных решения, нужно найти, при каких a последнее уравнение имеет единственное решение. 
известен, наименьшее значений этой функции при 
равно 2. График функции 
получается из него растяжением в 9 раз вдоль оси ординат (см. рис.). Поэтому 
Прямая 
имеет единственное пересечение с этим графиком при 
Таким образом,
его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками (0; 0) и (2; 0).
Решим соответствующее уравнение и найдём нуль дискриминанта:
он равен нулю при 
откуда 
он равен нулю при 
откуда 
то у прямой y = a – x нет общих точек с графиком 
а с графиком 
— две общие точки. 
то у прямой y = a – x одна общая точка 
с графиком 
значит, будет 3 общих точки.
то прямая y = a – x пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках (0; 0) и (2; 0), поэтому будет минимум 3 решения.
то у прямой y = a – x одна общая точка 
с графиком 
то у прямой y = a – x нет общих точек с графиком 
— две общие точки. 
имело равно два различных решения.
дискриминант уравнения (2) равен 
его корни 
значит, 
Необходимо, чтобы 
x1 = x3, x2 = x4:
— не подходит.
значит, 
— не подходит.
— не подходит.
что противоречит второму уравнению системы. При 
задает на координатной плоскости квадрат с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными 2a. График второго уравнения получается из графика функции 
сдвигом на четыре единицы влево вдоль оси абсцисс.
— 
имеет единственное решение. Имеем:
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
получаем, что графики уравнений 
и 
касаются при 
При найденном значении а абсциссой точки касания является 
эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при 
и 
представляет собой график функции 
сдвинутый на 
единиц вдоль 
является касательной к параболе 
а прямая 
— касательной к параболе 
Второе — часть гиперболы 
при 
и ее отражение относительно оси Ox.
то система имеет единственное решение 
если 
то 
Ясно, что при 
тогда
то 
значит, 
Теперь из геометрических соображений получаем, что при 
решений системы не меньше двух. Если же 
то решение ровно одно. В итоге получаем ответ: 
то
и 
которые совпадают при 
то
решениями системы являются пары чисел: 
и 
которые совпадают при 
то есть должно выполняться условие 
Значит, исходная система имеет ровно 4 различных решения при 
множества значений a, возможно, с включением граничной точки
и 
Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в точке 
и радиусом 
Анализируя графики, получаем, что 
графики не имеют общих точек.
равно 5:
или 
являются решением исходной системы, то система имеет бесконечное число решений. Значит, чтобы система имела ровно четыре различных решения, решения уравнения 
и 
а условию 
соответствуют все точки лежащие выше параболы 
Таким образом, система будет иметь конечное число решений в двух случаях: 
принадлежит левой ветви параболы (выделено синим) или лежит левее, что выполняется при 
принадлежит правой ветви параболы (выделено оранжевым) или лежит правее, что выполняется при 
радиусом 1 и параболы 
(выделены синим).
Преобразуем второе уравнение полученной системы:
дважды пересекает окружность 
то есть когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:
получаем:
решений нет. Рассмотрим случай 
радиусом 
лежащей правее прямой 
проходит через точку A при 
(выделено синим) и через точку B при 
(выделено фиолетовым). Заметим, что диаметр DC является отрезком прямой 
которая перпендикулярна прямой 
два решения;
и 
преобразуем первое уравнение системы. Воспользуемся формулой косинуса тройного аргумента 
является решением системы, а число 
— не является. Тогда при 
где 
исходная система имеет нечетное число решений.
то 
а тогда
откуда находим:
и 
Если прямая 
проходит через точку A, исходная система имеет два различных решения; в этом случае 
то есть 
то есть 
Определим значение параметра, при котором прямая 
Касательная имеет с гиперболой единственную общую точку, а потому уравнение 
имеет единственное решение. Умножим обе части на х, сведем уравнение к квадратному, получим: 
Найдем четверть дискриминанта: 
Дискриминант обращается в нуль при 
Найденным значениям параметра соответствуют точки касания 
Отрицательной ординате точки касания соответствует значение 
и при 
Тогда система неравенств примет вид:
система решений не имеет. Покажем, что при 
система имеет решение. Возьмем 
тогда исходная система примет вид:
Значит, при всех 
будет являться решением исходной системы, то есть система будет иметь хотя бы одно решение.
прямой 
можно записать в виде 
оно задаёт пучок прямых, проходящих через точку 
При 
(выделено синим) прямая проходит через точку 
принадлежит выделенным областям.
система имеет бесконечное число решений;
система имеет ровно одно решение;
система не имеет решений;
система имеет бесконечное число решений.
является решением системы, то и пара чисел 
тоже является решением системы. Значит, нечетное число решение возможно только если одним из решений является пара чисел 
Найдём при каких значениях параметра a, пара 
является решением системы:
— одно значение 
Изобразим в системе координат xOt графики уравнений системы
графики уравнений имеют три общие точки 
и 
где 
a 
Тогда, исходная система имеет ровно пять решений:
тогда каждому значению 
Тогда исходная система тоже имеет ровно одно решение 
или 
то 
если 
то 
если 
Для каждого из найденных значений a существует ровно одно решение вида (x; x) найденное выше. Все остальные решения, если они есть, будут иметь вид (x; y), где 
значит, их количество чётно, а общее количество решений нечётно.
и 
при 
при 
радиусом 8 (выделена оранжевым).
проходит через точку 
(выделено зелёным) при 
(выделено синим) — при 
то есть при 
и 
парабола и полуокружность не имеют общих точек, значит, исходная система не имеет решений, а при 
система имеет решения.
графиком второго уравнения — точка 
графиком третьего уравнения — прямая 
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство прямых 
Рассмотрим взаимное расположение графиков.
и 
и 
является касательной к параболе 
приравняв угловые коэффициенты. Получаем: 
откуда 
При 
и 
и 
и 
левая часть не имеет смысла. При 
и 
уравнение задает части прямых 
и 
(см. рис.). Графиком уравнения второго уравнения исходной системы 
является пучок прямых, проходящих через точку A(4; 0) Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых 
и 
пересекает прямую 
если 
или если 
При 
если 
При 
прямая 
при 
и при 
второе уравнение системы не имеет решений. При 
второе уравнение имеет решение 
не являющееся решением первого уравнения. Значит, 
Складывая и вычитая это уравнение и уравнение 
получим:
Наконец, если одно из них равно нулю, то одна из неизвестных равна нулю, а для другой не более двух вариантов, то есть у системы не более двух решений. Итак, должны выполняться неравенства 
и 
Значит, оба неравенства выполнены при 
с центром в начале координат. Первое уравнение, с учетом второго, можно записать в виде 
Это уравнение прямой, поэтому для существования двух решений требуется, чтобы она пересекала окружность 
в двух точках. Это произойдет в том случае, когда расстояние от начала координат до этой прямой будет меньше радиуса окружности. 
Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда 
и внутри неё,
с абсциссой 2 и положительной ординатой. Точка В — точка пересечения прямых 
и 
где aA и aB — ординаты точек А и В соответственно. Таким образом, условие задачи выполнено при 
и части гиперболы 
лежащей не ниже этой прямой (выделено синим). Найдём точки пересечения прямой и гиперболы:
и 
является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 3, пересекающих ось ординат в точке 
Количество решений системы равно числу общих точек графиков уравнений исходной системы.
Прямая 
(выделено пурпурным) при 
(выделено оранжевым) при 
(выделено красным) при выполнении следующих условий:
прямая 
при 
— в точке 
Анализируя графики получаем, что исходная система:
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения;
— одно решение;
— три решения.
в первое уравнение. Получим 
Заметим, что одним из корней полученного уравнения, будет 
Далее возможны три варианта, в которых уравнение 
даст ровно один корень.
положительно. Тогда дискриминант равен нулю, откуда 
то есть −2 или 2 соответственно. И в том и в другом случае выражение 
а для второго выражение 
с корнями 
и 4 
—
получаем уравнение 
с корнями 
и 
—
лежит между корнями этого уравнения. То есть значение функции 
в точке 
откуда 
Каждому положительному значению t соответствуют два различных значения x, значению 
графиком первого уравнения этой системы в осях tOy является окружность с центром в точке 
Условие задачи будет выполнено тогда и только тогда, когда прямая 
лежит между прямой 
(выделено красным) и прямой 
являющейся касательной к окружности (выделено синим), то есть при 
Решим полученное двойное неравенство:
и отрезков двух прямых с открытым концом (выделено оранжевым). 
Проанализируем количество точек пересечений графиков первого и второго уравнений.
графики не пересекаются.
).
(выделено пурпурным) графики имеют ровно две общие точки, значит, система имеет ровно два различных решения.
(выделено синим пунктиром) графики имеют ровно три общие точки.
графики имеют более двух общих точек, значит, система имеет более двух различных решений (от трёх до шести различных решений).
(выделено зелёным) и 
графики имеют ровно две общие точки, значит, система имеет ровно два различных решения.
прямые (выделено оранжевым) при ограничениях, заданных условиями 
и 
и 
пересекаются в точке 
Прямые 
Графиком последнего уравнения является пучок прямых, проходящих через точку 
проходит через точку 
при 
при 
(выделено синим). При 
— параллельна прямой 
система имеет ровно три решения;
система имеет ровно три решения;
система имеет ровно два решения;
система имеет ровно одно решение.
и 
они разбивают координатную плоскость на четыре области, в каждой их которых стоящие под знаком модуля выражения сохраняют знак. Взяв пробные точки в полученных областях, снимаем знаки модулей:
является прямоугольник с вершинами в точках 
радиусом 
при 
окружность 
(выделена синим) касается стороны BC в точке 
Окружность 
(выделена зелёным) проходит через точки A и D при условии
являются решениями уравнения.
является решением уравнения.
равна 
а их произведение равно 
По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 
и 
Эти числа различны для всех значений параметра. Чтобы систем имела два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы найденные корни одновременно принадлежали множеству решений первого уравнения:
