а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точка K  — центр грани ABD, точка M  — центр грани ACD.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BC и KM па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ABD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на сто­ро­нах AB и CD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, как на диа­мет­рах, ка­са­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — ромб.

б)  Пусть P и Q  — точки пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма за точки A и D с общей ка­са­тель­ной к окруж­но­стям. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQC, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 2, а синус угла BAD равен

1 ап­ре­ля 2017 г. Ан­дрей Пет­ро­вич по­ло­жил 10 000 руб­лей на бан­ков­ский вклад сро­ком на 1 год с еже­ме­сяч­ным на­чис­ле­ни­ем про­цен­тов и ка­пи­та­ли­за­ци­ей под a% го­до­вых. Это озна­ча­ет, что пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма вкла­да уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов, рас­счи­тан­ное таким об­ра­зом, что за 12 ме­ся­цев она уве­ли­чит­ся ровно на a%. Через 6 ме­ся­цев сумма вкла­да со­ста­ви­ла 10 500 руб­лей. Най­ди­те a.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

В ма­га­зи­не про­да­ют­ся мо­биль­ные те­ле­фо­ны, каж­дый из ко­то­рых стоит целое число тысяч руб­лей (боль­ше нуля, но менее 100 тыс.). Ма­га­зин уста­но­вил скид­ки на не­сколь­ко те­ле­фо­нов: если цена те­ле­фо­на со­став­ля­ет N тыс. руб., то он продаётся со скид­кой N%.

а)  Могла ли сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­вить ровно 1 тыс. руб?

б)  Могла ли сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­вить ровно 2 тыс. руб?

в)  Из­вест­но, что сред­няя ве­ли­чи­на скид­ки со­ста­ви­ла ровно 3 тыс. руб. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство те­ле­фо­нов могло про­да­вать­ся со скид­кой?