Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Най­ди­те угол CAD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся вер­ши­ны A, B, C, B₁ пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 8.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 20 би­ле­тов, в 11 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Ло­га­риф­мы". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме "Ло­га­риф­мы".

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с тремя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния одной лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   — про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 7). В какой точке от­рез­ка [−3; 1] функ­ция при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни со ско­ро­стью м/с, начал тор­мо­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем м/с². За t  — се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния он прошёл путь (м). Опре­де­ли­те время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, если из­вест­но, что за это время ав­то­мо­биль про­ехал 90 мет­ров. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

Даша и Маша про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 12 минут, а одна Маша  — за 20 минут. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Даша?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(2).

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная пи­ра­ми­да SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC, точки K и M  — се­ре­ди­ны рёбер AB и SC со­от­вет­ствен­но. Точки N и L на сто­ро­нах BC и SA со­от­вет­ствен­но рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что LA  =  4SL и пря­мые NL и MK пе­ре­се­ка­ют­ся.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые LK, MN и BS пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей пла­ни­ру­ет­ся взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за три года) и общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 65 500 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину диа­го­на­ли BE, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 20 тонн или 40 тонн. В не­ко­то­рых кон­тей­не­рах на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 60% от об­ще­го числа кон­тей­не­ров.

а)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 50% от общей массы?

б)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 40% от общей массы?

в)  Какую наи­боль­шую долю в про­цен­тах может со­став­лять масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы?