Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 628040

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений левая круглая скобка x y в квадрате минус 3 x y минус 3 y плюс 9 правая круглая скобка корень из x минус 3=0, y=a x конец системы .

имеет ровно три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

 левая круглая скобка xy в квадрате минус 3xy минус 3y плюс 9 правая круглая скобка корень из x минус 3=0 равносильно левая круглая скобка xy левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка корень из x минус 3=0 равносильно левая круглая скобка xy минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка корень из x минус 3=0 равносильно система выражений совокупность выражений y= дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби ,y=3,x=3, конец системы .x больше или равно 3. конец совокупности .

Исходная система имеет ровно три различных решения тогда и только тогда, когда графики функций y= дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби и y=3 и прямая x=3 имеют с прямой y=ax три различных точки пересечения на области x больше или равно 3 (см. рис.).

Из рисунка видно, что при a меньше или равно 0 одно решение, при 0 меньше a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби три решения, при  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше 1 два решения, при a больше или равно 1 одно решение.

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,

ИЛИ

в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,

ИЛИ

в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Иркутск. Вариант 3, Задания 17 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. ФИПИ. Вариант 4
Классификатор алгебры: Системы с параметром
Методы алгебры: Группировка