ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 627993 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений дробь: числитель: xy в квадрате минус 2xy минус 4y плюс 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус y конец аргумента конец дроби =0y=ax конец системы .$

имеет три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Запишем первое уравнение системы в виде

$дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка xy минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 минус y конец аргумента конец дроби =0.$

При $y больше или равно 4$ левая часть не имеет смысла. При $y меньше 4$ уравнение задаёт прямую $y=2$ и гиперболу $y= дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби$ (см. рис.). При каждом значении a уравнение $y=ax$ задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $y=2$ и гиперболы $y= дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби$ с прямой $y=ax$ при условии $y меньше 4.$

Прямая $y=ax$ пересекает прямую $y=2$ при $a меньше 0$ и при $a больше 0;$ пересекает правую ветвь гиперболы при $0 меньше a меньше 4,$ пересекает левую ветвь гиперболы при $a больше 0,$ проходит через точку пересечения прямой $y=2$ и гиперболы при $a=1.$

Таким образом, исходная система имеет три различных решения при $0 меньше a меньше 1$ и при $1 меньше a меньше 4.$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4.	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 627993: 628010 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Москва. Вариант 1;

Задания 17 ЕГЭ–2022.

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Группировка

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь