а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка Е  — се­ре­ди­на ребра SA, точка F  — се­ре­ди­на ребра SB, О  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми CEF и EFT, если точка Т  — се­ре­ди­на SC, пи­ра­ми­да SABC пра­виль­ная, пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна а SB  =  10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка О₁  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС, а точка О₂  — центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ос­но­ва­ния ВС.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка О₁О₂ до точки С вдвое мень­ше О₁О₂.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти в пять раз мень­ше ра­ди­у­са вто­рой. В каком от­но­ше­нии точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти с бо­ко­вой сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка делит эту сто­ро­ну?

Борис и Иван вло­жи­ли день­ги в общий биз­нес. После этого один из них до­ба­вил ещё 1 мил­ли­он руб­лей, в ре­зуль­та­те чего его доля в биз­не­се уве­ли­чи­лась на 0,05, а когда он до­ба­вил ещё 1 мил­ли­он руб­лей, его доля уве­ли­чи­лась ещё на 0,04. Сколь­ко мил­ли­о­нов руб­лей ему ещё нужно до­ба­вить, чтобы уве­ли­чить свою долю ещё на 0,06?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет не более трех ре­ше­ний.

На доске было на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых боль­ше 2, но не пре­вос­хо­дит 42. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 6. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, в два раза мень­ше пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись мень­ше 2, с доски стер­ли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске, боль­ше 10?

б)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске ока­зать­ся боль­ше 8, но мень­ше 9?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.