Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Изобразим первое уравнение на плоскости:
Система задает часть параболы 
расположенную не выше прямой 
Найдем абсциссу вершины параболы: 
тогда 
Найдем точки пересечения функций 
и 
Таким образом, абсциссы точек пересечения функций равны 0 и 7, следовательно, ординаты точек пересечения равны y(0) = 2 и y(7) = 9.
Прямая 
имеет всегда одну общую точку с прямой 
так как не параллельна ей, следовательно, система будет иметь два различных решения в двух случаях:
1) если прямая будет являться касательной к параболе и точка касания будет лежать ниже прямой 
2) если прямая будет иметь две общие точки с параболой одна из которых будет лежать ниже прямой а вторая не ниже этой прямой (то есть вторая точка либо совпадает с точкой пересечения прямых и либо лежит выше прямой 
).
Рассмотрим первый случай. Найдем значение a, при котором уравнение 
имеет одно решение. Выполним преобразования:
Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда, когда его дискриминант равен нулю. Имеем:
При a = −23 уравнение 
имеет единственное решение, x = 5. Проверим, что при x = 5 точка касания лежит не ниже прямой
Рассмотрим второй случай. Если прямая проходит ниже точки (7; 9), но выше точки (5; −3), то обе точки пересечения с параболой будут лежать ниже прямой а значит будет еще три различных решения.
Если прямая проходит через точку (0; 2) или выше, то обе точки пересечения с параболой будут лежать не ниже прямой а значит, всего будет одно решение. Следовательно, прямая должна проходить ниже точки (0; 2) и не ниже точки (7; 9):
Ответ: 
Приведем другое решение.
Определим, при каких a уравнение 
имеет 2 различных решения. Имеем:
Рассмотрим первый случай:
отсюда a = −23, 
— верно.
Рассмотрим второй случай:
Пусть 
тогда 
Имеем:
Так как 
получаем:
