ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 547548 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет не более двух решений.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

$система выражений a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс y=3a,a плюс 2x в кубе =y в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в кубе конец системы равносильно система выражений y=a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ,y в кубе =a левая круглая скобка 1 минус x в кубе правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений y=a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ,a в кубе левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в кубе =a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка . конец системы .$ $система выражений a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс y=3a,a плюс 2x в кубе =y в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в кубе конец системы равносильно система выражений y=a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ,y в кубе =a левая круглая скобка 1 минус x в кубе правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y=a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ,a в кубе левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в кубе =a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка . конец системы .$

При $a=0$ система имеет бесконечное число решений. Рассмотрим случай $a не равно 0.$ Тогда, в силу взаимной однозначности соответствия переменных в уравнении $y=a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ,$ количество решений системы совпадает с количеством решений уравнения

$a в кубе левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в кубе =a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка \underseta не равно 0\mathop равносильно совокупность выражений x=1,a в квадрате левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате =1 плюс x плюс x в квадрате конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=1, левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x плюс a в квадрате минус 1=0. левая круглая скобка * правая круглая скобка конец совокупности .$ $a в кубе левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в кубе =a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка \underseta не равно 0\mathop равносильно$
$\underseta не равно 0\mathop равносильно совокупность выражений x=1,a в квадрате левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате =1 плюс x плюс x в квадрате конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=1, левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x плюс a в квадрате минус 1=0. левая круглая скобка * правая круглая скобка конец совокупности .$

Заметим, что $x=1$ не является решением уравнения (⁎) ни при каких значениях параметра a. Значит, совокупность имеет не более двух решений, если уравнение (⁎) имеет не более одного решения.

При $a=\pm1$ уравнение (⁎) является линейным и имеет единственный корень $x=0.$ Значит, значения $a=\pm1$ удовлетворяют условию задачи (исходная система имеет два решения). При $a не равно \pm1$ уравнение (⁎) является квадратным и имеет не более одного корня, если его дискриминант неположителен. Имеем:

$левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно 4a в квадрате минус 1 меньше или равно 0 \underseta не равно 0\mathop равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше 0,0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Таким образом, исходная система имеет не более двух решений при $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше 0,$ $0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ или если $a=\pm1.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус 1; 1 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 317. (Часть C)

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь