Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Изобразим первое уравнение системы на плоскости:
Система задает часть гиперболы 
расположенную не ниже прямой 
Найдем точки пересечения прямой 
и гиперболы 
Таким образом, абсциссы точек пересечения равны 1 и 8, тогда ординаты точек пересечения равны y(1) = −14 и y(8) = 0.
Изобразим на плоскости второе уравнение системы: 
— это невертикальная прямая, проходящая через точку (0; −14). Если a < 0, то пересекает прямую 
так как коэффициенты различны. Чтобы узнать, пересекает ли прямая 
гиперболу 
решим уравнение 
При a < 0 
и 
но поскольку a < 0, то 
следовательно, с правой частью гиперболы 
прямая пересекается ниже прямой Следовательно, прямая пересекает только левую часть гиперболы, a < 0 подходит.
Если a = 0, то прямая имеет вид 
— эта прямая параллельна оси x, следовательно, имеет с гиперболой только одну точку пересечения. Определим ее координаты, решив уравнение
Эта точка совпадает с точкой пересечения с прямой 
При a = 0 система имеет только одно решение, следовательно, значение a = 0 не подходит.
Если a > 0, то у прямой с левой частью гиперболы общих точек нет, поэтому два различных решения должны быть при пересечении с прямой и правой частью гиперболы 
Если с гиперболой нет общих точек, то решений не более 1 и такая ситуация не подходит.
Если прямая является касательной к правой части гиперболы, то
Найдем значение a, при котором дискриминант уравнения 
равен нулю:
При a = 4 уравнение имеет единственный корень — x = 2. Также при a = 4:
получаем два различных решения, a = 4 подходит.
Если прямая имеет две точки пересечения с правой частью гиперболы то либо прямая должна быть параллельна либо одна из точек пересечения должна лежать не выше прямой Рассмотрим прямую параллельную Угловой коэффициент прямой угловому коэффициенту прямой следовательно, a = 2. Тогда
Оба найденных корня лежат в промежутке [1; 8], следовательно, существует два различных корня и a = 2 подходит.
Если прямая пересекает прямую не выше прямой это значит, что проходит не выше точки (8; 0), то есть 
(при a > 0). Если 
то 
— проходит выше точки (1; −14), то есть вторая точка пересечения с гиперболой лежит выше прямой При 
пересекается с прямой при 
— два различных решения.
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Определим, при каких значениях a уравнение 
имеет два различных решения. Выполним преобразования:
Рассмотрим случай a = 2:
Уравнение имеет два различных решения, значение a = 2 подходит.
Рассмотрим случай a = 0:
Уравнение имеет одно решение, значение a = 0 не подходит.
Рассмотрим случай a > 2:
Рассмотрим уравнение 
Его дискриминант равен 
Если D > 0, то
получаем всего 3 решения, что не подходит. Если D = 0, то a = 4, 
— всего 2 решения, a = 4 подходит. Если D < 0, то всего 1 решение, что не подходит.
Рассмотрим случай a < 0:
Рассмотрим уравнение Оно имеет два решения:
подходит, а 
и должно выполняться 
чтобы было 2 решения. Имеем:
Так как a > 0, то 2 − a > 0, 8 − 5a > 0, имеем:
Воспользуемся методом интервалов:
С учетом того, что a < 0, получаем, что 
Рассмотрим случай 0 < a < 2:
Рассмотрим уравнение Оно имеет два решения: корень 
должен быть больше или равен 
а корень 
должен быть меньше чтобы было 2 различных решения. Имеем:
Так как 0 < a < 2, то 
Если 
то (1) верно, а (2) преобразится в
Воспользуемся методом интервалов:
Так как 0 < a < 2 и 
то получим, что 
Если 
то (1) и (2) верно — 
подходит. Если 
то (2) верно, а (1) преобразуется в
Воспользуемся методом интервалов:
Так как 0 < a < 2 и 
то 
Объединив все три случая, получим, что если 0 < a < 2, то 