Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 562194
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус y пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 8 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те минус 24 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 минус x в квад­ра­те конец дроби =0 новая стро­ка y=1 минус 2a. конец си­сте­мы .

имеет ровно два ре­ше­ния.
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 8 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те минус 24 = 8y плюс 2x в квад­ра­те минус 24 = 8 левая круг­лая скоб­ка y плюс дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а по­то­му пер­вое урав­не­ние си­сте­мы эк­ви­ва­лент­но си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус y пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка y плюс дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,x не равно \pm ко­рень из 2 . конец си­сте­мы .

Решим за­да­чу графо-ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся со­во­куп­ность по­лу­окруж­но­сти y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та и участ­ка па­ра­бо­лы y= минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 3 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка с вы­ко­ло­ты­ми точ­ка­ми x=\pm ко­рень из 2 . Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния для каж­до­го зна­че­ния па­ра­мет­ра яв­ля­ет­ся го­ри­зон­таль­ная пря­мая. Си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда гра­фи­ки урав­не­ний имеют ровно две общие точки. Из по­стро­ен­ных гра­фи­ков на­хо­дим ис­ко­мые зна­че­ния y:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y=0,y=2,5,3 мень­ше y мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше y мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та . конец со­во­куп­но­сти .

Сле­до­ва­тель­но,

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 1 минус 2a=0,1 минус 2a=2,5,3 мень­ше 1 минус 2a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 минус 2a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a=0,5,a= минус 0,75, минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше минус 1, минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

−  или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

−  или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 562194: 562212 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Урав­не­ние окруж­но­сти
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025