Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 660767
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний |x| плюс |y| = a, y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 4 конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы .

имеет два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние си­сте­мы. За­ме­тим, что па­ра­метр a не­от­ри­ца­те­лен, так как иначе сумма мо­ду­лей была бы от­ри­ца­тель­ным чис­лом, чего быть не может. При a=0 по­лу­ча­ем x=y=0, что про­ти­во­ре­чит вто­ро­му урав­не­нию си­сте­мы. При a боль­ше 0 урав­не­ние |x| плюс |y| = a за­да­ет на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти квад­рат с вер­ши­на­ми на ко­ор­ди­нат­ных осях и диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 2a. Гра­фик вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка функ­ции y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , сдви­гом на че­ты­ре еди­ни­цы влево вдоль оси абс­цисс.

Из по­стро­ен­но­го ри­сун­ка видно, что при a=2 си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние, а при a = 4   — три ре­ше­ния. Най­дем, при каком зна­че­нии па­ра­мет­ра гра­фик корня ка­са­ет­ся сто­ро­ны квад­ра­та. Для этого опре­де­лим, при каких a урав­не­ние | x | плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 4 конец ар­гу­мен­та = a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Имеем:

|x| плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 4 конец ар­гу­мен­та =a рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 0, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 4 конец ар­гу­мен­та =a минус x, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше 0, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 4 конец ар­гу­мен­та =a плюс x конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 0, a минус x боль­ше или равно 0, x в квад­ра­те минус x левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те минус 4=0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше 0, a плюс x боль­ше или равно 0, x в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те минус 4=0. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Урав­не­ние x в квад­ра­те минус x левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те минус 4=0 имеет един­ствен­ное ре­ше­ние в том слу­чае, если дис­кри­ми­нант равен нулю. Решим урав­не­ние D = 0:

левая круг­лая скоб­ка 2 a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но 4 a плюс 17 = 0 рав­но­силь­но a = минус 4,25.

Урав­не­ние x в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в квад­ра­те минус 4 = 0 имеет един­ствен­ное ре­ше­ние в том слу­чае, если дис­кри­ми­нант равен нулю. Решим урав­не­ние D = 0:

левая круг­лая скоб­ка 2 a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но минус 4 a плюс 17 = 0 рав­но­силь­но a = 4,25.

Учи­ты­вая, что a боль­ше или равно 0, по­лу­ча­ем, что гра­фи­ки урав­не­ний |x| плюс |y| = a и y = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 4 конец ар­гу­мен­та ка­са­ют­ся при a = 4,25. При най­ден­ном зна­че­нии а абс­цис­сой точки ка­са­ния яв­ля­ет­ся x = минус дробь: чис­ли­тель: 2a минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 3,75,эта точка дей­стви­тель­но лежит на сто­ро­не квад­ра­та. Сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма урав­не­ний имеет два ре­ше­ния при 2 мень­ше a мень­ше 4 и a = 4,25.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 2;4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 4,25 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 660767: 660768 680007 680779 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Ком­би­на­ция «кри­вых»
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025