В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°. Най­ди­те BC.

Даны век­то­ры Най­ди­те длину век­то­ра

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

При про­из­вод­стве в сред­нем на каж­дые 2982 ис­прав­ных на­со­са при­хо­дит­ся 18 не­ис­прав­ных. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный насос ока­жет­ся не­ис­прав­ным.

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу в каж­дую из четырёх ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле равна 0,6. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в две пер­вые ми­ше­ни и не попадёт в две по­след­ние.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x) и во­семь точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, …, x₈. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на?

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 447 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где м/с  — ско­рость звука в воде,   — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов, f  — ча­сто­та отражённого от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая приёмни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла в МГц, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа равна 10 м/с.

Пер­вый час ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 115 км/ч, сле­ду­ю­щие три часа  — со ско­ро­стью 45 км/ч, а затем два часа  — со ско­ро­стью 40 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, O  — центр грани A₁B₁C₁D₁. Плос­ко­сти (AOB) и (BOC)  — пря­мо­уголь­ни­ки, и сто­ро­ны AB и CD яв­ля­ют­ся их мень­ши­ми сто­ро­на­ми. AB и BC в 2 раза мень­ше со­от­вет­ствен­ных боль­ших сто­рон се­че­ний.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между CA₁ и (BOC).

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., ) куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей () с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб­лей, а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб­лей.

Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

Дан ромб ABCD. На диа­го­на­ли AC от­ме­че­ны точки M и N, так что AM  =  NM  =  NC. Пря­мая BM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P, а пря­мая BN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BPDQ равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ADC.

б)  Най­ди­те BD, если из­вест­но, что и около пя­ти­уголь­ни­ка PMNQD можно опи­сать окруж­ность.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 24 числа: во­семь «5», во­семь «4» и во­семь «3». Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть хотя бы одно число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В. (Для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу.)

а)  При­ве­ди­те при­мер раз­би­е­ния ис­ход­ных чисел на две груп­пы, при ко­то­ром сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел мень­ше

б)  До­ка­жи­те, что если раз­бить ис­ход­ные числа на две груп­пы по 12 чисел, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел будет равно

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния