a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BB₁, а точка N  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мым AM и B₁N, про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка B₁M.

a)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка B₁C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁плос­ко­стью α, если все ребра этой приз­мы равны 4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года (r  — целое число);

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле каж­до­го из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг дол­жен быть на какую-⁠то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 600 тыс. руб.;

—  в июле каж­до­го из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2035 года кре­дит дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­вит 2230 тыс. руб. Най­ди­те, сколь­ко руб­лей со­ста­вит платёж в 2035 году.

Бис­сек­три­са АМ остро­го угла А рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD делит бо­ко­вую сто­ро­ну CD по­по­лам. От­ре­зок DN пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AM и делит сто­ро­ну АВ в от­но­ше­нии

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВМ и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если пло­щадь тра­пе­ции равна

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На столе лежит три кар­точ­ки, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­на одна цифра. Ваня со­ста­вил из на­пи­сан­ных цифр трех­знач­ное число А. Петя вы­брал две из этих кар­то­чек, со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число В и вер­нул кар­точ­ки на место. Коля тоже вы­брал две из этих трех кар­то­чек и со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число С (воз­мож­но то же самое, что и Петя).

а)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если A < 150?

б)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если числа B и C де­лят­ся на 3?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее число A, для ко­то­ро­го может быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C.