Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Графическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.
При такая прямая пересекает прямую при 
и 
пересекает правую ветвь гиперболы 
при пересекает левую ветвь гиперболы при 
При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
и при 
Аналитическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
Тогда исходная система равносильна следующей:
При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 3.
Ответ: 
Примечание.
Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
и/или 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
a=1/3 не может быть, так как x не равно -3.
именно потому, что
значение 
и входит в ответ