ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 529735 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

$система выражений a=x в квадрате плюс 2x плюс 5,a= левая круглая скобка 2x плюс 8 минус 2y правая круглая скобка y минус 5 конец системы .$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Приравняем правые части уравнений исходной системы:

$x в квадрате плюс 2x плюс 5= левая круглая скобка 2x плюс 8 минус 2y правая круглая скобка y минус 5 равносильно x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка x плюс 2y в квадрате минус 8y плюс 10=0.$

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной x. Найдем одну четвертую дискриминанта:

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2y в квадрате минус 8y плюс 10 правая круглая скобка = минус y в квадрате плюс 6y минус 9= минус левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате .$

Дискриминант неотрицателен только при $y=3,$ а значит, единственным корнем уравнения является $x= минус дробь: числитель: b, знаменатель: 2a конец дроби =2.$ Тогда исходная система или имеет единственное решение $левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка ,$ или не имеет решений.

Из первого уравнения исходной системы найдём значение a, при котором у системы есть решение:

$a=2 в квадрате плюс 2 умножить на 2 плюс 5=13.$

Ответ: $a=13.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 291

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь