Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 531562

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений  новая строка y=a левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка ,  новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _x2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _y2 конец дроби =1.  конец системы .

не имеет решений.

Спрятать решение

Решение.

Система имеет имеет смысл при x больше 0, x не равно 1, y больше 0, y не равно 1. На ОДЗ преобразуем второе уравнение системы:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию y 2 конец дроби =1\undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=1 \undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию 2 xy=1 равносильно xy=2 равносильно y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби .

Решим систему графически. В системе координат xOy графиком первого уравнения является пучок прямых, проходящих через точку  левая круглая скобка 3;0 правая круглая скобка (см. рис., выделено синим, зеленым, красным). Графиком второго уравнения системы является правая ветвь гиперболы y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби с выколотыми точками  левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 2;1 правая круглая скобка (на рисунке изображено черным цветом). В зависимости от значения параметра a прямая и гипербола могут не иметь общих точек или иметь одну или две общие точки.

При a= минус 1 прямая y=a левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , изображенная на на рисунке зелёным цветом, проходит через выколотые точки гиперболы: точки  левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 2;1 правая круглая скобка . При a=0 прямая y=a левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , на рисунке изображенная красным цветом, является асимптотой гиперболы. Значит, система не имеет решений при a= минус 1 или a_1 меньше a\leqslant0, где a_1 — значение параметра, при котором прямая касается гиперболы (на рисунке изображено синим цветом).

Прямая и гипербола имеют общие точки, если имеет решение уравнение

 дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби =a левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка равносильно ax в квадрате минус 3ax минус 2=0

Прямая касается гиперболы, если дискриминант D=9a в квадрате плюс 8a этого уравнения равен нулю. Тогда a_1= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби .

Следовательно, система не имеет решений при a= минус 1 или  минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби меньше a\leqslant0.

 

Ответ:  левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .

 

Примечание.

Дополнительно отметим, что при a меньше минус 1 или  минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби меньше a меньше минус 1 система имеет два решения, а при a= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби или a больше 0 — одно решение.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.
Методы алгебры: Перебор случаев