Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений 
имеет ровно два решения.
Система не изменяется при одновременной замене x на y, а y на x, при одновременной замене x на –x, а y на –y, при одновременной замене x на –y, а y на –x. Следовательно, есть система имеет решение 
то она имеет и решения 
и 
Чтобы система имела ровно два решения, какие-то из пар должны совпадать.
Пары 
и совпадать не могут, поскольку в этом случае первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что невозможно одновременно.
Если 
то первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что также невозможно.
Остается случай 
Теперь первое уравнение системы принимает вид а второе принимает вид 
В этом случае 
откуда получаем единственное возможное значение 
При найденном значении параметра система действительно имеет ровно два решения:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений:
При 
второе уравнение системы, а значит, и вся система решений не имеет. При 
уравнения системы задают прямые:
Ясно (см. рис.), что при 
система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при 
— два решения (координаты точек M и N).
Ответ:
Приведём аналитическое решение.
Из второго уравнения системы находим, что число 
является решением системы, если 
При этом значении параметра система принимает вид
и имеет 4 решения: 
или 
Такое значение параметра не подходит по условию. Следовательно, чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы 
а потому 
и можно разделить обе части второго уравнения на х. Находим:
Из второго уравнения полученной системы по каждому значению х можно найти единственное значение y. Значит, система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда ровно два решения имеет первое уравнение. Сделаем замену 
получим уравнение
Исходная задача равносильна требованию найти все значения параметра, при которых полученное уравнение при 
имеет ровно один положительный корень. Если полученное уравнение имеет два корня, то эти корни одного знака, так как по теореме Виета 
значит, этот случай не подходит. Найдем четверть дискриминанта: 
Полученное выражение обращается в нуль при При этом значении параметра уравнение имеет корень 
Это решение положительное, поэтому найденное значение параметра искомое.
Ответ:
Приведем идею еще одного решения.
Заменим второе уравнение разностью первого и второго уравнений, получим равносильную систему:
При 
полученная система несовместна. При 
первое уравнение задает окружность, которая должна иметь ровно две общие точки с прямыми
Построив графики, убеждаемся, что искомый случай соответствует касанию окружности с найденными прямыми.
Ответ:
Первое уравнение задаёт окружность. Второе — гиперболу. Два решения в случае касания — находим а.
Так можно, но сложнее.
Для начала не при всех значениях параметра первое уравнение задает окружность, а второе — гиперболу.
Потом надо бы разобраться, можно ли вообще говорить о касании окружности и гиперболы. Кривые касаются в некоторой их общей точке, если касательные к ним в данной точке совпадают. Само по себе наличие общей точки ничего о касании не говорит.
Далее, откуда следует, что если одна ветвь гиперболы имеет общую точку с окружностью, то и другая тоже? Возможен ли в данной задаче случай, когда одна из ветвей имеет с окружностью две общие точки, а другая — ни одной? И вообще, сколько общих точек может быть у окружности и гиперболы, и как это доказать?
В этой задаче соображения, связанные со взаимным расположением гиперболы и окружности, лишь затуманивают существо дела и являются основанием для снижения оценки за необоснованность решения.
Можно было вычесть из первого уравнения второе, при этом получалось уравнение |x - y| = 1 которое определяет пару параллельных прямых, вкупе с исходным первым уравнением получаем окружность лежащую ( при малых а) между двух прямых, видно что решений будет ровно 2 когда прямые будут касательными к окружности, значит диаметр окружности равен расстоянию между прямыми. Дальше проводим алг преобразования и получаем ответ
Добавили эту идею в решение.
Видно, что система инвариантна относительно преобразования (-x; -y), а также (y; x). То есть если есть хоть какое-то решение (x; y), то отсюда вытекают ещё 3: (y; x); (-x; -y); (-y; -x). Понятно, что случай когда (x; y) = (-x; -y) не подходит, поэтому или (x; y)=(y; x) или (x; y)=(-y; -x). Первый случай не подходит, ибо тогда 2a=2a-1, отсюда остаётся только (x; y)=(-y; -x). То есть 2a=1-2a, то есть a = 0.25. Подстановкой убеждаемся, что это подходит.
Добавили такое решение. Спасибо!