ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 643681 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений |x в квадрате минус 1| минус 2 x минус x в квадрате = |y в квадрате минус 1| минус 2 y минус y в квадрате , x плюс y = a конец системы .$

имеет больше двух решений.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим четыре случая.

1.  Если $x в квадрате минус 1 меньше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 меньше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$1 минус x в квадрате минус 2 x минус x в квадрате =1 минус y в квадрате минус 2 y минус y в квадрате равносильно y в квадрате минус x в квадрате плюс y минус x=0 равносильно левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс 1 правая круглая скобка =0.$ $1 минус x в квадрате минус 2 x минус x в квадрате =1 минус y в квадрате минус 2 y минус y в квадрате равносильно$
$равносильно y в квадрате минус x в квадрате плюс y минус x=0 равносильно левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс 1 правая круглая скобка =0.$

Полученное уравнение задаёт две прямых: $y=x$ и $y= минус x минус 1.$

2.  Если $x в квадрате минус 1 меньше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 больше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$1 минус x в квадрате минус 2 x минус x в квадрате =y в квадрате минус 1 минус 2 y минус y в квадрате равносильно y=x в квадрате плюс x минус 1 .$

Полученное уравнение задаёт параболу $y=x в квадрате плюс x минус 1.$

3.  Если $x в квадрате минус 1 больше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 меньше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате минус 1 минус 2 x минус x в квадрате =1 минус y в квадрате минус 2 y минус y в квадрате равносильно x=y в квадрате плюс y минус 1 .$

Полученное уравнение задаёт параболу $x=y в квадрате плюс y минус 1.$

4.  Если $x в квадрате минус 1 больше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 больше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате минус 1 минус 2 x минус x в квадрате =y в квадрате минус 1 минус 2 y минус y в квадрате равносильно y=x .$

Полученное уравнение задаёт прямую $y=x.$ Точки A(−1; 0), B(0; −1) и C(−1; −1) являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых $x = минус 1$ и/или $y = минус 1,$ поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением $y=x,$ отрезка AB прямой $x плюс y= минус 1,$ дуги $\omega_1$ параболы $y=x в квадрате плюс x минус 1$ с концами в точках B и C и дуги $\omega_2$ параболы $x=y в квадрате плюс y минус 1$ с концами в точках A и C (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при $a= минус 2$ прямая m касается парабол $x=y в квадрате плюс y минус 1$ и $y=x в квадрате плюс x минус 1$ в точке C.

При $a = минус 1$ прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При $a = минус 2$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При $минус 2 меньше a меньше минус 1$ прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При $a меньше минус 2$ или $a больше минус 1$ прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет больше двух решений при $минус 2 меньше a \leqslant минус 1.$

Ответ: $минус 2 меньше a \leqslant минус 1.$

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Утверждение «при a  =  −2 прямая m, касается парабол», используемое авторами в официальных критериях, далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Можно предложить такие варианты его обоснования.

1.  Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой m так же будет касательной.

2.  Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая $y = минус x минус 2$ отвечает этому требованию для обеих парабол.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки $a= минус 1$	3
При всех значения a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Аналоги к заданию № 643681: 643687 Все

Источники:

Задания 17 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.07.2023. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 601 (часть 2).

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь