Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Запишем первое уравнение системы в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы 
с прямой при условии 
Прямая пересекает прямую при 
и при 
пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
и при 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Запишем первое уравнение системы в виде
Тогда
При a = 0 система решений не имеет. В противном случае первое уравнение имеет корень 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 1.
Ответ:
Примечание.
Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
и/или 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек