СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 513610

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии

Прямая пересекает прямую при и при пересекает правую ветвь гиперболы при пересекает левую ветвь гиперболы при проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при

 

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

Тогда исходная система равносильна следующей:

 

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень который удовлетворяет системе при Второе уравнение имеет два различных корня только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при Таким образом система будет иметь два различных решения при Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть это происходит при a = 1.

 

Ответ:

 

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.


Аналоги к заданию № 513610: 513629 514510 514517 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых», Комбинация «кривых»