Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Решение. а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.
б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна 
Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию 
Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии 
в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:
Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если 
то левая часть больше 246: 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
или 
Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.
Приведем другое решение.
а) 
б) 
Поскольку 
число n не может быть равно 
или быть больше. Число 
удовлетворяет условию.
в) 
— не удовлетворяет. 
поэтому имеем 
— много есть таких прогрессий. Имеем 
— есть такая прогрессия.
Ответ: а) да; б) 41; в) 3, 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в) | 4 |
| Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки | 3 |
| Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в) | 2 |
| Верно выполнен один из 2 пунктов: а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и 
и решая систему линейных, находим: m1 = 282, m2 = 7, m3 = 27, m4 = 34. Значит,
где 
то 
В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая — нет, поэтому S4 не может быть равным 4547. 
где 
Кроме того, поскольку 
число отлично от написанного над ним, то оно не меньше, чем 
Действительно, для 
это очевидно, поскольку все числа второй строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими 
Пусть в 
-й строчке написано число 
а под ним написано число b, большее 
Тогда в 
-й строчке написано b чисел, равных 
в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что b делится на 
Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от 
Итак, 
Наше утверждение доказано по индукции для всех 
Если предположить, что 11-я строчка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строчке будет больше, чем 
что невозможно.
является арифметической прогрессией с разностью 
Кроме того, каждый член такой последовательности можно сократить так, чтобы в числителе была единица. Значит, все они являются членами исходной последовательности.
Легко видеть, что это прогрессия с разностью 
а разность этой прогрессии равна 
Тогда возьмем натуральное n такое, что 
Тогда получим, что 
Значит, 
-й
…, 
Ясно, что каждая из этих дробей является членом данной последовательности.
Тогда их произведение равно 
и 
q не обязано быть целым, но должно быть рациональным. Пусть 
— несократимая дробь, тогда имеем 
Значит, 792 кратно 
(оно не может сокращаться со знаменателем), откуда 
Значит, a кратно 
(иначе 
— нецелое), 
кратно 
792 кратно 
(оно не сократилось), откуда 
и прогрессия постоянна.
и 
поэтому
откуда 
Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.
следует, что n является делителем числа 1440. Значит, 
то левая часть не меньше чем 
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение 
которое не имеет целых решений.
Следовательно, d = 1. Тогда получаем уравнение 
которое не имеет целых решений.
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение 
которое имеет единственный натуральный корень 4.
то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым
Значит, 13 членов в начальной прогрессии быть не может. 
следует, что n является делителем числа 1768 = 2 · 2 · 2 · 13 · 17. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. При n = 8 получаем
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение
Если известно, что S < 900, то из неравенства 
следует, что 
откуда n < 42 (при 
имеем: 
). При n = 41 имеем: 
натуральные числа от 1 до 41 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 41, а сумма меньше 900. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 41.
— наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна 
Если известно, что сумма данных n чисел равна 235, то 
Заметим, что 
число 47 простое и 
(в пункте б) доказано, что 
), то n — один из делителей числа 10.
то возможные значения n = 5 или n = 10. Подставим в равенство 
поочередно n = 5 и n = 10, получаем следующие равенства: 
и 
Первое из этих равенств выполняется, например, при 
а второе — при 
Прогрессии 1, 24, 47, 70, 93 и 1, 6, 11, …, 46 состоят из 5 и 10 членов, а их сумма равна 235.
Если известно, что S = 13, то 
Заметим, что 
поскольку 
откуда n < 32 (при 
имеем: 
). При 
имеем: 
натуральные числа от 1 до 31 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 31, а сумма меньше 500. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 31.
— наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна 
Если известно, что сумма данных n чисел равна 57, то 
Заметим, что 
и n — один из делителей числа 114.
получим, что 
которое выполняются, например, при 
Прогрессия 1; 19; 37 состоит из 3 членов, сумма равна 57.
которое выполняются при 
Прогрессия 2, 5, 8, 11, 14, 17 состоит из 6 членов, сумма равна 57.
при всех натуральных n.
Имеем a3 = a5 − a4 = 2a, a2 = a4 − a3 = 3a и a1 = a3 − a2 = − a < 0. Получаем противоречие.
может выполняться при n = 5. Действительно, для такой последовательности выполнены условия задачи и 15a6 = 24a5.
Положим 
Тогда an = 3na и 
Имеем
откуда в силу того, что 
после почленного деления получаем:
Правая часть равенства является возрастающей функций от n. Поэтому решениями неравенства могут быть только такие значения переменной, для которых правая часть меньше 2. Следовательно, 
Далее рассмотрим возможность существования решения при 
и 
аналогично пунктам 
то 
что невозможно. Если d — натуральное число, то возможен единственный случай: d = 1. Тогда a = 2, и искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Случай 
невозможен, поэтому 
Кроме того 
значит, 
откуда 
то есть 
откуда находим 
Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Значит, наибольшее значение n равно 44.
то 
следовательно, 
Поскольку 
является суммой арифметической прогрессии 
состоящей из 
членов. Если заменить все члены этой прогрессии на противоположные, то получится арифметическая прогрессия, состоящая из 2n членов, сумма которой равна −n.
не делится на 
а 
не является квадратом натурального числа.
не делится 
но уравнение 
не имеет целых корней.
и 
где a — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться 
При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна 
Пусть 
Рассмотрим разбиение числа S на 39 слагаемых, равных 
Можно считать, что слагаемые упорядочены по невозрастанию: 
Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, чтобы 
тогда 
то есть 
и 
Полученное противоречие доказывает, что 
Поэтому сумма слагаемых во второй группе 
не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S равно 37,05.
Упорядочим слагаемые по неубыванию и будем добавлять в первую группу меньшие слагаемые, начиная с первого. При добавлении очередного слагаемого Х в первую группу сумма слагаемых в ней превысит 19. Это слагаемое из первой группы исключим и будем рассматривать отдельно, а все остальные слагаемые (большие или равные Х) поместим во вторую группу. Пусть S1 — сумма слагаемых в первой группе, S2 — сумма слагаемых во второй группе, причем 
и 
тогда 
поскольку 
Но тогда и любое слагаемое из второй группы больше 0,95. Учитывая, что 
получим, что во второй группе должно быть не более 18 слагаемых. Каждое слагаемое меньше 1, поэтому 
При 
и 
получим, что 
Это противоречит условию. Следовательно, S1 не может быть меньше 18,05: в этом случае S2 + X не превосходит 19. Отнесем Х ко второй группе, и искомое разбиение будет достигнуто.
где по условию b — натуральное число, 
— искомые члены прогрессии. Их произведение равно 
но уравнение 
не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.
а пятое натуральное число равно 
Поскольку 
имеем: 
что невозможно для натуральных 
и k поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных 
— несократимая дробь, 
Тогда 
что невозможно, поскольку разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.
а четвертое и пятое натуральные числа равны k и 
Тогда 
Положим в этом равенстве 
Далее, полагая 
получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.
(в произвольном порядке), то 
Уравнение 
не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.
Сумма её членов равна 
Получили противоречие.
Значит, если среди членов арифметической прогрессии a1, a2, ..., an, ... есть кратные 100, то это члены с номерами вида 
где q — номер первого члена, кратного 
а p пробегает все неотрицательные целые числа. Поэтому среди любых k последовательных членов прогрессии a1, a2, ..., an, ... ровно один будет делиться на 100. Если 
то 
и среди чисел a1, a2, ..., a49 будет по крайней мере 12 чисел, кратных 100. Если же 
то 
и среди чисел a1, a2, ..., a49 будет не более 10 чисел, кратных 100. Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a1, a2, ..., a49 ровно 11 чисел делятся 
d — разность арифметической прогрессии.
чисел. Аналогично, среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n кратными 100 будут не менее 
чисел. Неравенство 
выполнено тогда и только тогда, когда 
Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами 
и 
меньше 1. Получаем, что 
и 
Значит, 
и 
Поскольку число k не превосходит 100, отсюда следует, что 
Рассмотрим прогрессию с первым членом 69 и разностью 1. Тогда среди чисел a1, a2, ..., a132 ровно два делятся на 100 (a32 = 100 и a132 = 200). Среди чисел a133, a134, ..., a330 ровно одно делится на 100 (a232 = 300). Этот пример показывает, что n может равняться 66.
то 
а тогда 
Итак, если в последовательности каждое число, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних чисел, то последовательность разностей соседних членов убывает — это необходимое и достаточное условие.
имеем:
и не может равняться 20.
—
член an равен сумме первых 
состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
то удвоенный второй член последовательности не больше суммы первого и третьего.
то должно быть выполнено неравенство 
откуда 
что невозможно, или 
Последний случай тоже невозможен, поскольку тогда последовательность принимает 
и подобрать d невозможно.
тогда 
откуда 
Случаи 
невозможны, что доказывается аналогично. Если 
то 
Сумма членов 
приведён нами в задании 
состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних стоящих рядом с ним членов.
выполнено неравенство
тогда, как показано выше,
и 
откуда
а второе на 
и сложив их, получаем:
и 
то есть А не превосходит 
Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,
то есть А не превосходит 
Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,
состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mk — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 1, M2 = 2.
получаем:
что невозможно, поскольку последовательность должна состоять из однозначных чисел. Значит, не существует такой последовательности, для которой 
получаем:
состоит из 
не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных 
выполнено равенство 
то есть разность между соседними членами последовательности уменьшается на 1. Поэтому последовательность с какого-то момента убывает, а до этого момента возможно возрастает (возрастающей части может и не быть, если разность сразу выбрать отрицательной). Очевидно, каждое число может не более одного раза встретиться на участке возрастания и на участке убывания. 
Теперь максимальный равен 999, а остальные остались трехзначными.
Итак, может быть не более 42 чисел. Аналогично возрастающая часть последовательности содержит не более 42 чисел и общий ответ — 84.
состоит из 
числа 
и ak дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, все члены последовательности (кроме, может быть, последнего — он не нужен для дальнейших вычислений) дают одинаковые остатки от деления на 3. Будем сразу считать, что если такое возможно, то an — последний член последовательности (выкинем остальные). Тогда 
поэтому и оно дает тот же остаток при делении на 3.
будет выполнено, если было выполнено ранее. Вычтем тогда из всех членов последовательности 
Теперь мы можем считать, что 
а остальные члены последовательности — натуральные числа. Значит, они все делятся 
Поскольку 
то 
Обозначая 
имеем 
Далее, 
Теперь разберем несколько случаев.
тогда 
откуда 
При 
имеем 
и последовательность имеет вид 2, 401, 667. Осталось выяснить, может ли быть 
тогда 
тогда 
тогда 
тогда 
тогда b кратно 729 и 
Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна 
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение 
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение 
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение 
состоит из 
различных натуральных чисел, причём при всех натуральных 
?
положим 
Тогда равенство 
равносильно равенству 
Следовательно, последовательность bk при 
образует геометрическую прогрессию со знаменателем 
при 
делится на 
а 
тот же остаток, что и число 315. Поскольку 
получаем, что 
Остатки при делении числа 
на 
и 
соответственно равны 
и 
Значит, 
показывает, что 
б) нет; в) 3.
и 
состоят из натуральных чисел.
?
?
если 
?
и 
соответственно. Для этих прогрессий имеем 
и 
то 
Пришли к противоречию, ведь по условию 
и 
и 
По доказанному в пункте б имеем 
и 
соответственно, то
и 
равно 
и 
соответственно; б) нет; в) 98.
состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mk — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что 
получаем:
что невозможно. Значит, не существует такой последовательности, для которой 
получаем
получаем
что и требовалось.
Теперь понятно, что 0 написан на первой странице. Действительно, если бы 0 был написан на какой-то из последующих страниц, то сумма бы уменьшилась.
Тогда сумма чисел, записанных на страницах с номерами от 1 до 
включительно равна 
страниц.
Используя формулу суммы арифметической прогрессии получаем: 
). Поскольку ak + ak+1 ≥ 3, ak+1 + ak+2 ≤ 25, получаем ak+2 ≤ ak+22. В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов.
и 
Тогда 
Тогда 
и 
где 
и 
Получаем противоречие.
может выполняться при 
и 
Положим 
поэтому получаем, что 
Следовательно, 
делится на 100 тогда и только тогда, когда разность m − n делится на 
Значит, если среди членов арифметической прогрессии a1, a2, ..., an, ... есть кратные 100, то это члены с номерами вида kp + q, где q — номер первого члена, кратного 100 
а p пробегает все неотрицательные целые числа. Поэтому среди любых k последовательных членов прогрессии a1, a2, ..., an, ... ровно один будет делиться на 100.
то есть в нашем случае:
d — арифметической прогрессии.
чисел. Аналогично среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n кратными 100 будут не менее 
чисел. Неравенство 
выполнено тогда и только тогда, когда 
Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами 
задач (напомним, что такое могло быть, если Петя решил в первый день 6 задач, а Вася — 7, Петя решал задачи 7 дней, а Вася — 8).
Вася в первый день решил 2 задачи, то есть всего Вася решил 2 + 3 + 4 + 5 + ... задач. Следовательно, 64 должно быть меньше треугольного числа 
Вася в первый день решил или 1 задачу, или 3 задачи. Следовательно, 72 должно или совпадать с треугольным числом, или быть меньше него на 1 + 2 = 3. Противоречие.
Вася в первый день решил или 2, или 4 задачи. Следовательно, 80 должно быть меньше треугольного числа или 
задач, а Петя за m дней решил 
задач.
Тогда или 
или 
При любом из этих значений получаем 
Значит, в сборнике не могло быть 213 задач. 
Следовательно, 
получаем 
тогда 
Проверим, мог ли Вася за 16 дней решить 289 задач: 
Имеем 
Имеем 
Левая часть уравнения кратна 15, правая может быть кратна 15 при 
но тогда 
Значит, m не может равняться 15.
Имеем 
При этом 
Нетрудно заметить, что k = 6 и a = 5 ему удовлетворяют.
задач, а Вася за k > 10 дней решил 
задач. Из условия следует, что 
но при этом 
Значение а должно удовлетворять условию 
значение k — условию 
задач, а Петя 
задач. Приравняем эти значения: 
Откуда получаем, что 
Таким образом, мальчики могли решить все задачи сборника ровно за пять дней, если Вася в первый день решил на две задачи больше, чем Петя.
задач, а Петя 
задач. Приравняем эти значения: 
Откуда получаем, что 
Это равенство не может быть выполнено ни при каких целых a и b, следовательно, мальчики не могли решить все задачи сборника ровно за десять дней.
Это уравнение имеет натуральное решение: 
Действительно, имеем цепочку, состоящую из пяти чисел:
или 
Но 
— нечетное число, поэтому есть ровно одна возможность: 
— снова нечетное число, поэтому для 
снова ровно одна возможность. Так всякий раз будут получаться нечетные числа, поскольку сумма нечетного и четного чисел является нечетным числом. Рассуждая аналогично, получаем: 
удовлетворяет условиям. Докажем, что наибольший член последовательности не может быть меньше 112.
Следовательно, a — четное. 
приведет нас к цепочке
где m − нечетное число. Это число должно быть больше 98, но не сильно. Можно перебрать маленькие значения k и подобрать m как раз с этим условием (
больше 98, но не сильно). Так мы довольно быстро получаем число 
которое хорошо тем, что при вычитании 98 дает 14. Это хорошее число, потому что 
и после нескольких умножений на 2 мы вновь попадем в 112. (Например, 
6 − это далеко не такое хорошее число, хоть оно и меньше 14, т. к. после серии умножений 6 на 2, наименьшее число, которое будет больше 98, это 192.)
Следовательно, если начать с 14, то через три операции мы получим 
И при вычитании 98 мы получим 
т. е. снова 14, а это для нас очень хорошо!
Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна
Противоречие.
где ki — целое неотрицательное число. Тогда сумма n чисел на доске равна 
Из (⁎) следует, что 
делится на 10, следовательно, 
и 
заведомо не подходят. При 
из (⁎) получаем, что
Построение примера завершает его предъявление: 
Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например, 
в последовательности меньше 
членов. Примером последовательности, состоящей из 371 члена может служить 
равносильно равенству 
Следовательно, последовательность bk при 
выполнены равенства 
Поэтому выполнены равенства
Аналогично получаем 
Приходим к противоречию, так как 
и все числа ak двузначные. Тогда либо 
либо 
имеем 
и
то при 
имеем 
(поскольку 
) и
при 
показывает, что n может равняться 26. Действительно, тогда последовательность 
при 
образует арифметическую прогрессию с разностью −1. Значит, при всех натуральных 
и 
выполнены неравенства 
и, следовательно, все члены последовательности ak являются двузначными числами. 
и 
получаем
то 
Пришли к противоречию.
по условию выполнены равенства 
и 
получаем
Значит,
и 
при каждом натуральном числе 
имеем
Поскольку функция 
возрастает при 
и убывает при 
наибольшее значение выражения 
для целых 
равно 30. Оно достигается при 
и 
Таким образом, получаем, что сумма
и 
а также при 
и 
Это значение равно
Но тогда третий член прогрессии 
является четырёхзначным числом, что противоречит условию.
где 
Наибольшее кратное 17 трёхзначное число равно 986. Разложим его на простые множители: 
—
—
—
—
—
272, 408, 612, 918.
откуда 
то есть число 700 делится на n. Аналогично получим:
Выпишем все делители числа 
:
имеем 
различных натуральных чисел, причем при всех натуральных 
выполнено равенство 
выполняться равенство 
Можно представить эту формулу в виде: 
кратно 216. Можно взять 
тогда 
выполняться равенство 
Ответ напрашивается отрицательный, так как an не зависит от n, то есть начиная с третьего члена последовательности все члены ее будут равны одному и тому же 
числу 5. То есть начиная с третьего члена последовательность не будет являться возрастающей. Попытаемся иначе обосновать наш ответ.
есть 
— 
членов геометрической последовательности 
— 
Эту формулу представим иначе: 
Полученные разности обозначим 
и 
Тогда 
Тогда последовательность 
представляет собой геометрическую последовательность со знаменателем 
то есть 
Тогда 
Получаем 
получается тот же остаток, что и при делении 404 на 
следующим образом: 
и 
для всех 
При каких m количество различных членов этой последовательности конечно?
было верным, все неравенства предыдущего пункта должны обратиться в равенства, то есть для любой цифры должно выполняться условие 
откуда x = 0 или x = 9. Итак, подходят все числа, запись которых состоит лишь из нулей и девяток.
то есть если число m содержит в записи k цифр, где 
то тогда
равносильно неравенству 
что верно при 
сумма квадратов их цифр 
Следовательно, последовательность будет содержать конечное количество членов, не меньших тысячи (их не более m, ведь последовательность убывает) и никак не больше 999 различных значений членов последовательности, меньших тысячи. Значит, при любом m количество различных членов последовательности конечно.
среднее арифметическое всех членов последовательности {an}, которые меньше некоторого числа C, которое больше наименьшего, но не больше наибольшего члена этой последовательности. Обозначим 
— 
и 
и 
Какое наименышее число членов может быть в последовательности {an}?
После увеличения чисел на 4 получаем последовательность 5, 81, 84, для которой 
(при увеличении каждого числа 
Тогда предыдущее уравнение дает 
Таким образом, всего чисел не меньше 
В какой наименьшей арифметической прогрессии содержится эта геометрическая прогрессия?
для всех 
При каких значениях n число an делится 
для всех 
и 
По условию 
следовательно, 
откуда q = 3 или q = 4.
Тогда 
и поэтому разность арифметической прогрессии не превосходит 
Очевидно, что прогрессия 
Тогда 
и поэтому разность арифметической прогрессии не превосходит 
Прогрессия 
удовлетворяют геометрические прогрессии со знаменателями, являющимися корнями уравнения 
то есть q = 2 или q = −1. Причем если две последовательности удовлетворяют этому условию, то и их сумма с любыми коэффициентами удовлетворяет этому условию. Подберем числа a и b так, чтобы выполнялось равенство 
Подставляя n = 1 и n = 2, получим, что 
и 
откуда 
и 
имеем:
состоит из натуральных чисел и обладает следующим свойством: последовательность средних арифметических с общим членом
для всех 
При четных n это дает
Ясно, что 
поэтому последовательность an закончится при 
то есть при 
Поскольку число c нечетно, первым таким нечетным n будет c + 2. Итак, последнее n, для которого определено an, это 
— 
и 
Как и ранее, получим:
поскольку уже при n = 51 имеем: an = 0. Значит, в последовательности 50 членов.
в) 50.
а числа, стоящие на четных местах, образуют арифметическую прогрессию {bn} с первым членом b и разностью 
причем 
и 
Значит, две такие пары не могут состоять из одинаковых чисел.
при 
то чему равна разность (m – n)?
будет точным квадратом?
нечетно. Поэтому 
Значит, последовательность имеет вид 1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, 7 ...
поэтому 
и 
— четное число, то сумма равна 
— 
и 
получаем соответственно 1 и 25. Это квадраты.
и 
получаем соответственно 7 и 15. Это не квадраты.
заметим, что 
и 
кончается 
кончается 
состоит из натуральных чисел. 
При 
получаем кратное 11 число 
Например, можно взять прогрессию 
Нужно, чтобы a1 было кратно 19, и давало остаток 22 при делении на 23 и остаток 29 при делении на 31. Подберем такое a1. Заметим, что 
удовлетворяет последним двум условиям. Любое другое подходящее a1 должно отличаться от этого на число, кратное и 23, и 31, то есть кратное 713 (и потому быть не меньше 91). Итак, 
делится на 19. Минимальное такое x — это 8, поэтому минимальное a1 — это 
Значит, 
Если на каком-то этапе получается не натуральное число, то последовательность заканчивается последним натуральным числом. Чему равен последний член этой последовательности?
задач, а всего к среде оставалось решить 
задач. Во вторник было решено 
задач, а оставалось ко вторнику не решено 
задач. В понедельник было решено 
задачи, а всего нужно было решить 
задачи.
тогда
где x нечетно, то последним членом последовательности bn станет x, а последним членом an 
Если же x = 1, то в какой-то момент получим bn = 4, откуда an = 2 и an + 1 = 0, что недопустимо, поскольку нуль не натуральное число, а потому последовательность остановится на двойке.
то 
то 2, в противном случае 
где x — наибольший нечетный делитель числа a1 + 2; в) 2.
коэффициенты p и q, а также корни x1 и x2 являются натуральными числами, не делящимися на 3. Какой остаток при делении на 3 имеет число q?
кратны трем. Значит, если вычеркнуть все кратные трем числа среди чисел от 1 до 1500, останется как раз 1000 чисел. Последним из них будет 1499, поскольку 1500 кратно трем.
кратно трем. Значит, a2 дает остаток 1 при делении на 3. Поэтому сумма трех квадратов цифр может быть кратна трем, если все числа кратны трем, или если все они не кратны трем. Первый вариант невозможен, поскольку тогда и сумма кубов цифр будет кратна трем. Значит, они все и их произведение не кратны трем.
будет кратно трем. Если же они дают одинаковые остатки, то 
дает остаток либо 
либо 
то есть тоже 1. Остатка 4 быть не может.
так, что последовательность Mn содержит n чисел, идущих по порядку.
и так далее. Более того, есть еще последнее лишнее число.
сумма этих чисел равна 89.
сумма этих чисел больше чем 
поэтому при 
сумма в Mi больше 119, а при 
сумма не больше 89. Значит, сумма 119 недостижима.
использовано 
по два раза. Значит,
и потому 
значит, c — трехзначное число (в нем на одну цифру больше, чем в a) с первой цифрой 1. Тогда a тоже начинается с 1. Пусть 
тогда 
При этом 
кратно 10, поскольку a и c заканчиваются на одинаковую цифру. Значит, 
кратно 5, откуда 
(тогда 
что невозможно), либо 
тогда 
Эти числа подходят, 
в феврале 
в марте 
По условию
кратно 4 и не превосходит 9. Если 
то 
и 
что невозможно для цифр. Поэтому 
тогда 
Значит, либо 
и 
либо 
в) 148, 481, 814 или 259, 592, 925, расход воды 333.
последняя цифра такая же, как и у a38?
Две последние цифры элемента a12 совпадают с двумя последними цифрами элемента an впервые при 
Есть ли в прогрессии члены, являющиеся квадратами натуральных чисел?
все члены прогрессии кончаются на 0.
не кратно 10, но 
кратно 10, поэтому d — четное число, не кратное 5. Следовательно, 5d кратно 10, а d, 2d, 3d, 4d не кратны 5 (а потому и 10). Значит, 
не кратны 10 (и потому 
имеют последние цифры иные, нежели 
а 
кратно 10 и потому 
имеет нужную последнюю цифру.
кратно 100, поэтому d кратно 4. Значит, все члены прогрессии 
дают остаток 3 при делении на 4. Это невозможно для квадрата натурального числа — квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа 
равен 
и дает остаток 1 при делении на 4.
состоит из 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых восьми и среднее арифметическое последних восьми ее членов равно 17.
как и сумма последних восьми. С другой стороны, сумма всех чисел должна равняться 
поэтому сумма последних пяти чисел должна равняться 
что невозможно для пяти различных натуральных чисел.
а общая сумма равна 
и общее среднее арифметическое равно 
Значит, чем больше x, тем меньше общее среднее арифметическое и наоборот. Осталось найти границы для x.
поэтому среднее не больше 
Это значение достигается, например, для последовательности 4, 5, 6, 7, 108, 1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 92.
откуда 
то есть 
Значит, наибольшее возможное значение x равно 108 и общее среднее арифметическое равно 
Это значение достигается, например, для последовательности 1, 11, 2, 9, 5, 35, 36, 37, 3, 4, 6, 7, 8.
