В последовательности a1, a2,..., an−1, an, состоящей из целых чисел, a1 = 1, an = 235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235 удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).
б) Поскольку 3, 5 и 25 — нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных — чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.
в) Рассмотрим три члена последовательности: ak, ak+1, ak+2 (
). Поскольку ak + ak+1 ≥ 3, ak+1 + ak+2 ≤ 25, получаем ak+2 ≤ ak+22. В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов.
Пусть n = 2m + 1, тогда
an = a2m+1 ≤ a2m-1 + 22 ≤ a2m-3 + 22 · 2 ≤...≤ a1 + 22 · m; 235 ≤ 1 + 22m,
откуда m ≥ 11. Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.
Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов:
1, 2, 23, −20, 45, −42, 67, −64, 89, −86, 111, −108, 133, −130, 155, −150, 175, −170, 195, −190, 215, −210, 235.
Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235; б) нет; в) 23.