ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 520501 Добавить в вариант

Последовательность a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?

б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n?$

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть $a_1=2$ и $a_2=1.$ Тогда $a_3=2 плюс 1=3, a_4=1 плюс 3=4, a_5=3 плюс 4=7$ и $4a_5=7a_4.$

б)  Предположим, что $5a_5=7a_4.$ Тогда $a_5=7a$ и $a_4=5a,$ где $a= дробь: числитель: a_5, знаменатель: 7 конец дроби больше 0.$ Имеем $a_3=a_5 минус a_4=2a, a_2=a_4 минус a_3=3a$ и $a_1=a_3 минус a_2= минус a меньше 0.$ Получаем противоречие.

в)  Пример последовательности 3, 8, 11, 19, 30, 49,... показывает, что равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n$ может выполняться при $n=5.$ Действительно, для такой последовательности выполнены условия задачи и $30a_6=49a_5.$

Пусть $n\geqslant6$ и $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n.$ Положим $a= дробь: числитель: a_n, знаменатель: 6n конец дроби больше 0.$

Имеем:

$a_n минус 1=a_n плюс 1 минус a_n= левая круглая скобка n в квадрате минус 6n плюс 24 правая круглая скобка a;$

$a_n минус 2=a_n минус a_n минус 1= левая круглая скобка минус n в квадрате плюс 12n минус 24 правая круглая скобка a;$

$a_n минус 3=a_n минус 1 минус a_n минус 2= левая круглая скобка 2n в квадрате минус 18n плюс 48 правая круглая скобка a;$

$a_n минус 4=a_n минус 2 минус a_n минус 3= минус 3 левая круглая скобка n в квадрате минус 10n плюс 24 правая круглая скобка a.$

$a_n минус 4 больше 0,$ поэтому получаем, что $n в квадрате минус 10n плюс 24= левая круглая скобка n минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка меньше 0.$ Следовательно, $n=5.$ Полученное противоречие показывает, что при $n\geqslant6$ равенство $6na_n плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс 24 правая круглая скобка a_n$ выполняться не может.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  при $n=5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 520501: 520521 520664 520705 Все

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь